漫談相對論(4)對於不同觀察者,宇宙到底有何變化?

狹義與廣義相對論淺說

阿爾伯特 · 愛因斯坦 著

各位同學大家好!我是李永樂老師。今天我們繼續來導讀愛因斯坦的名著《狹義與廣義相對論》,今天是第四講。

在上一回,我們講到時間和空間都和觀察者的速度有關。如果觀察者速度變了,他會覺得整個宇宙的尺寸和時鐘都發生了變化。可是,一個觀察者怎麼會具有這麼大的能量,去改變整個宇宙呢?

我想,我有必要針對這個問題做一個解釋。

比如,大家看這樣一個圖形,是一個正方形對不對?

但是假如我把這個螢幕橫過來,從一個側面去看,正方形就看起來像一個梯形。

還有,你吃過楊桃嗎?從某些角度看,楊桃像一個花瓣,另一些角度看,楊桃好像一個五角星。楊桃本身並沒有發生任何變化,只是因為我們觀察的角度變了,楊桃在我們觀察方向的投影就發生了變化。

楊桃

楊桃

在愛因斯坦之前,人們認為空間尺寸和時間長度都是絕對不變的。相對論提出之後,人們才發現:真正不變的是四維時空中的時空間隔。而在在不同的參考系下,時間長度和空間間隔,都會發生變化,時間和空間不過是一個四維時空間隔的兩種投影而已。我們一旦運動起來,實際上是改變了自己觀察世界的角度,自然就會發現時間和空間都變了。

為了解釋清楚這件事,我們需要使用閔可夫斯基四維時空的概念。在這本小冊子中,愛因斯坦把這一部分放在了狹義相對論的結尾,廣義相對論的開篇。雖然在愛因斯坦提出狹義相對論時,並沒有參考這個觀點,但是後來,包括愛因斯坦在內的所有人都承認,必須使用閔可夫斯基時空,才能清楚的理解相對論。

赫爾曼·閔可夫斯基是一個生於俄國的猶太人,是三兄弟中最小的一個。

赫爾曼閔可夫斯基

赫爾曼閔可夫斯基

後來,父親帶著三兄弟搬家到戈尼斯堡。大家聽說過戈尼斯堡嗎?這是一個在赫赫有名的城市,坐落在波羅的海沿岸,波蘭和立陶宛中間,現在是俄羅斯的飛地加里寧格勒。

這裡誕生了七橋問題,也誕生了數學家希爾伯特和哲學家康德。康德被認為是蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德之後最有影響力的西方思想家,而希爾伯特則是二十世紀初最偉大的數學家。

閔可夫斯基三兄弟都非常優秀,大哥子承父業,成了優秀的商人,二哥就是發現胰島素和糖尿病關係的胰島素之父奧斯卡·閔可夫斯基。

奧斯卡閔可夫斯基

奧斯卡閔可夫斯基

而赫爾曼在很小的時候就表現出極高的數學天賦,被譽為神童,所以三兄弟在當地十分有名。

1896年,閔可夫斯基來到瑞士的蘇黎世理工學院工作,在這裡他遇到了後來享譽世界的物理學泰斗——愛因斯坦。只不過在那個時候,愛因斯坦還只是一個經常逃課的大學生,閔可夫斯基很不喜歡愛因斯坦,斥責他是一條懶惰的狗。

在1908年的一次演講中,閔可夫斯基提出了四維時空的概念。我們生活的空間是三維的,但是時間也在一分一秒的流逝。當我們要描述一件事,比如和朋友相約去電影院,或者遙遠的星球的爆炸,不光要說出地點,還需要說出時間來。所以,描述一個事情所需要的要素除了三維空間座標之外,還需要再添加一個座標——時間。這樣一來,三維空間和一維時間就構成了四維時空。

假如一個原子正在空間中運動,我們當然可以在空間座標系中畫出它的運動軌跡,但是這條軌跡沒辦法告訴我們在某一個時刻,原子到底在什麼位置。如果我們在空間座標系中再增加一個時間維度,把這個原子每個時刻的位置畫出來,我們就得到一條包含了時間和空間的原子軌跡,這條軌跡就叫做世界線。

當然,如果物體不是原子,而是一根硬杆,它一邊在空間中運動,一邊感受時間流逝,那麼杆上每個原子的世界線組合起來,在四維時空中就變成了一個面,這叫做世界面。如果物體是一個薄膜,每個點的世界線組合起來,在四維時空中的軌跡就是一個立體,這叫做世界體。當然,實際的物體都是三維的,在四維時空中,會留下一個四維的軌跡,就好像剛才我們畫的半空間、半時間的立方體一樣。世界面、世界體或者四維軌跡,其實都是由世界線組成的,我們就統稱它們為世界束吧!

世界束

世界束

一個人從出生到死亡,空間位置和時間都在不停地變化,所以我們每一個人的生命其實都在四維時空中畫出了世界束。而且,由於我們會不停的接納一些外界的原子(比如水、空氣和食物),也會不停的排出一些原子(比如糞便、頭髮、指甲),你會發現有許多周圍原子的世界線一會兒和我們合併,一會兒又離我們而去。等到我們死後,屍體燃燒或者腐爛,所有的原子(除了後人為了紀念我們而留下的骨灰)都會分道揚鑣,四下彌散,進入宇宙的新循環中。

人的世界束

人的世界束

閔可夫斯基四維時空為物理學家們研究問題提供了很大方便,人們可以用幾何觀點解釋運動問題。舉例來說:我們通常認為太陽系中太陽是不動的,地球圍繞太陽運動,三維空間中看到的情景的確是這樣的。但是如果在四維時空中理解這個問題,你會發現:太陽雖然在空間上不動,但是隨著時間的流逝,太陽會在時間軸上運動,太陽的世界束是一條平行於時間維度的直線。地球呢?它一邊圍繞著太陽運動,一邊也在感受著時間的變化,所以,地球的世界束是沿著時間軸盤旋的螺旋線。

太陽的世界束是直線,地球世界束是環繞太陽的螺旋線

我們利用閔可夫斯基四維時空,來說明一下時空的變化。

比如在伽莫夫的《從一到無窮大》中有一個例子:上午9:21,紐約一家銀行被打劫。9:36,一架飛機撞上了帝國大廈。為了方便起見,我們假設它們發生在同一條馬路上,銀行距離我們10個街口,帝國大廈距離我們20個街口。這樣,在我們看來,兩件事的空間間隔是10個街口,時間間隔是15分鐘。

我們可以畫出一個四維時空圖,兩個事件可以表示成四維時空圖上的兩個點,兩個點分別向時間軸和空間軸做投影,投影的長度就是它們的時間間隔和空間間隔。

地面參考系下看到的時空座標

地面參考系下看到的時空座標

假如現在的時刻是9點整,我們坐上汽車,向著帝國大廈的方向勻速運動,速度是每3分鐘一個街口。在9:21時,汽車已經行駛過7個路口,銀行在第10個路口,所以汽車上的我們認為:搶劫銀行這件事,距離我們有3個路口之遠;9:36時,汽車已經駛過了12個路口,帝國大廈在第20個路口,所以我們認為,飛機撞大樓這件事,距離我們有8個路口。你看看,在汽車的參考系下,兩個事件的空間距離已經不是10個路口了,而是8-3=5個路口。這就是空間的相對性。

在原來的四維時空中,我們可以畫出汽車的世界線:隨著時間的增長,汽車的位置在均勻的改變,汽車的世界線變成了一條傾斜的直線。其實,這就是汽車參考系的時間軸,相比於我們靜止不動時,發生了傾斜。座標系似乎從原來相互垂直的時間軸和空間軸,變成了一個V字形。

汽車參考系下看到的時空座標

汽車參考系下看到的時空座標

現在,你可以從A點和B點,向空間座標軸上做投影了。你要注意,由於汽車參考系時間軸發生了旋轉,當我們要做空間投影時,要畫出平行於時間軸的線,讓它與空間軸相交。你很容易發現:在汽車參考系下,A和B兩個事件的空間間隔正是5個路口!

汽車參考系下,兩個事件的空間距離為5

汽車參考系下,兩個事件的空間距離為5

不過,如果我們用這種方法解釋,有個問題又說不通了:兩個事件的空間距離發生了變化,但是時間卻絲毫沒變——依然是15分鐘。我們剛剛不是還說,時間和空間是統一的,為什麼換了參考系,空間間隔變了,時間間隔沒變呢?

這是因為:剛才我們做的旋轉還不夠。在時間軸旋轉的同時,空間軸也會發生旋轉!而且,當空間軸順時針旋轉的時候,時間軸會逆時針旋轉。

汽車參考系下事件的時空間隔都變了

汽車參考系下事件的時空間隔都變了

奇怪,汽車參考系下,時間軸和空間軸怎麼不垂直了?還有,憑什麼時間軸順時針旋轉,空間軸逆時針旋轉?要解釋清楚這些問題,還要用到許多數學知識。咱們暫且接受這個奇怪的結論吧。等大家上了大學就知道了。

你看,這就是在汽車參考系下看,新的時間軸和空間軸。我們再把銀行大劫案和飛機幢大樓向新的時間軸和空間軸上投影,就能得到在汽車參考系下,兩件事發生的時間和空間間隔。你會發現:它們的時間間隔將不是15分鐘,空間間隔既不是10個街口,也不是剛才所說的5個街口。

其實,無論是銀行大劫案還是飛機撞大樓,兩個事件在四維時空中的位置從來就沒有什麼變化。它們的四維時空間隔,你可以理解成AB之間線段的長度,也沒有發生變化。只是因為我們從站在地上變成了坐上汽車,觀察者的參考系發生了變化,造成了座標軸的旋轉,所以事件在時間軸和空間軸上的投影變了,所以我們才感覺時間長度和空間距離都發生了變化。

我們打個比方:歷史人物的功過是非是不會變的,但是由於每個歷史學家所處的階層不同,看問題的角度不同,很可能會對同一個歷史人物做出完全不同的評價。你看,是不是和相對論有點像?

狹義相對論部分我們就講到這裡了,從下一期開始,我會帶著大家了解一點點廣義相對論。

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