在哈代 32 歲時就已經執掌英國數學界，成為了世界頂級的數學家。而一直被哈代所敬佩膜拜的兩位更偉大的同時代數學家，一位印度數學大神馬拉努金，另一位是「數學界的無冕之王」德國數學家希爾伯特。
這裡我們講講關於希爾伯特的事。
哥廷根學派
講希爾伯特之前，我們不得不先講一下希爾伯特所代表的哥廷根學派。
哥廷根是德國當之無愧的學術之都，在這個13萬人的城市裡，每四個人中就有一個大學生。46名諾貝爾獎得主，或在此讀過書，或在此教過學，世界上難以找出另一個城市，有如此的殊榮。
哥廷根學派是在世界數學科學的發展中長期占主導地位的學派，該學派堅持數學的統一性，思想反映了數學的本質，促進了數學的發展。
高斯開始了哥廷根數學學派的起始時代，他把現代數學提到一個新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比繼承了高斯的工作，在代數、幾何、數論和分析領域做出了貢獻，克萊因和希爾伯特使德國哥廷根數學學派進入了全盛時期，哥廷根大學因而也成為數學研究和教育的國際中心。
但由於希特勒的上臺，使得哥廷根學派受到致命的打擊，大批猶太血統的科學家被迫亡命，哥廷根學派解體。
當時出逃德國的科學家中包括：愛因斯坦、馮·諾依曼、哥德爾、費勒等一大批科學家。這都是後話。
希爾伯特和他的 23 個問題
大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862～1943），德國著名數學家。中學時代他就對數學表現出濃厚的興趣，善於靈活和深刻地掌握以至能應用老師講課的內容。
他與17歲便拿下數學大獎的著名數學家閔可夫斯基（愛因斯坦的老師）結為好友，同進於哥尼斯堡大學，最終超越了他。
希爾伯特的數學工作可以劃分為幾個不同的時期，每個時期他幾乎都集中精力研究一類問題。
按時間順序，他的主要研究內容有：不變數理論、代數數域理論、幾何基礎、積分方程、物理學、一般數學基礎，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特徵值問題、「希爾伯特空間」等。在這些領域中，他都做出了重大的或開創性的貢獻。
他指出：「只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡和終止。」
1900年，在世界數學大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。
這23個問題統稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用。
曾有人問希爾伯特：為什麼不去解決這些難題呢？
希爾伯特回答說：我不想殺死會下金蛋的鵝。
隨著歷史進程的推進，這些數學問題一個一個被解決，剩下的幾乎解不開。
下面我們來看看這 23 個問題都有哪些？
No.1 連續統假設
狀態：部分解決
1874年，康託猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設，也成為希爾伯特第 1 問題。
連續統假設，數學上關於連續統勢的假設。該假設是說，無窮集合中，除了整數集的基數，實數集的基數是最小的。
1938年，哥德爾證明了連續統假設和世界公認的策梅洛–弗倫克爾集合論公理系統的無矛盾性，並於1940年發表。
1963年美國數學家保羅·柯恩以力迫法證明連續統假設不能由策梅洛-弗蘭克爾集合論（無論是否含選擇公理）推導。
因此，連續統假設不能在策梅洛–弗倫克爾公理體系內證明其正確性與否。
No.2 算術公理的相容性
狀態：部分解決
歐幾里得幾何的相容性可歸結為算術公理的相容性。
在公理系統中如果不能推匯出兩個互相矛盾的命題（即互為反命題的命題），這個公理系統就稱為相容的或無矛盾的，也稱和諧的。
希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。
1931年，哥德爾發表的不完備性定理否定了這種看法，但此定理是否已回答了希爾伯特的原始問題，數學界沒有共識。
1936年德國數學家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術公理的相容性。
No.3 兩個等底等高四面體的體積相等問題
狀態：已解答
答案：否定
問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。
由 希爾伯特的學生 M.W.德恩 於 1900 年以一反例證明了是不可以的。
No.4 兩點間以直線為距離最短線問題
狀態：部分解決
希爾伯特對於這個問題的定義過於含糊。滿足此性質的幾何學很多，因而需增加某些限制條件。
在希爾伯特之後，在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題並未完全解決。
1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣佈，在對稱距離情況下，問題獲得解決。
No.5 連續群的解析性
狀態：已解答
答案：肯定
一個連續變換群的李氏概念，定義這個群的函數不假定是可微的 這個問題簡稱連續群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？
中間經馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、龐德里亞金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結果。
No.6 物理學的公理化
狀態：部分解決
希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學。1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫實現了將概率論公理化。後來在量子力學、量子場論方面取得了很大成功。
然而，儘管公理化已經開始滲透到物理當中，量子力學中仍有至今不能邏輯自洽的部分（如量子場論），故該問題未完全解決。
No.7 某些數的無理性與超越性
狀態：已解答
答案：肯定
分別於1934年、1935年由蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德與德國數學家特奧多爾·施耐德獨立地解決。創造的格爾豐德-施奈德定理（Gelfond–Schneider theorem）是一個可以用於證明許多數的超越性的結果。
No.8 素數問題
狀態：部分解決
三大問題包括：黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。
2018年9月，美國人麥可·阿蒂亞宣佈他證明了黎曼猜想。哥德巴赫猜想的最佳結果屬於中國數學家陳景潤（1966），但離最解決尚有距離。
孿生素數問題的最佳結果屬於另一位中國數學家張益唐，2013年5月，他證明了孿生素數猜想的一個弱化形式，發現存在無窮多差小於7000萬的素數對，從而在孿生素數猜想這個此前沒有數學家能實質推動的著名問題的道路上邁出了革命性的一大步。這一差值已被縮小至246。
No.9 在任意數域中證明最一般的互反律
狀態：部分解決
該問題已由日本數學家高木貞治（1921）和德國數學家埃米爾·阿廷（1927）解決。
埃米爾·阿廷證明在阿貝爾擴張的情況下答案是肯定的；此外的情況則尚未證明。
No.10 丟番圖方程的可解性
狀態：已解答
答案：否定
希爾伯特問，能否用一種由有限步構成的一般演算法判斷一個丟番圖方程的可解性？
能求出一個整係數方程的整數根，稱為丟番圖方程可解，也叫不定方程可解性。
1970年，蘇聯的 IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的演算法不存在。
No.11 係數為任意代數數的二次型
狀態：部分解決
有理數的部分由哈塞於1923年解決。
No.12 一般代數數域的阿貝爾擴張
狀態：未解決
埃裡希·赫克於1912年用希爾伯特模形式研究了實二次域的情形。虛二次域的情形用復乘復乘理論已基本解決。一般情況下則尚未解決。
No.13 用只有兩個變數的函數解一般的七次方程
狀態：部分解決
七次方程的根依賴於3個參數a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個函數能否用二元函數表示出來？蘇聯數學家阿諾爾德解決了連續函數的情形（1957）證明對於單值函數，答案是否定的。
維士斯金又把它推廣到了連續可微函數的情形（1964）。但如果要求是解析函數，則問題尚未解決。
No.14 證明某類完備函數系的有限性
狀態：已解答
答案：否定
這和代數不變數問題有關。
1958年，日本數學家永田雅宜給出了反例。
No.15 舒伯特計數演算的嚴格基礎
狀態：部分解決
一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。
希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學不密切聯繫。但嚴格的基礎迄今仍未確立。
No.16 代數曲線和代數曲線面的拓撲問題
狀態：未解決
這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部分要求討論 的極限環的最大個數和相對位置，其中 X、Y 是 x、y 的 n 次多項式。
蘇聯的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了 n=2 時極限環的個數不超過3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例（1979）。
No.17 半正定形式的平方和表示
狀態：已解答
答案：肯定
「半正定形式的平方和表示」也就是說。把有理函數寫成平方和分式。
一個實係數n元多項式對一切陣列 (x1,x2,…,xn) 都恆大於或等於0，是否都能寫成平方和的形式？1927年埃米爾·阿廷解決此問題，並提出實封閉域。
No.18 非正多面體能否密鋪空間 球體最緊密的排列
狀態：已解答
答案：肯定
1911年比伯巴赫做出「n 維歐氏幾何空間只允許有限多種兩兩不等價的空間群」；萊因哈特證明不規則多面體亦可填滿空間；托馬斯·黑爾斯於1998年提出了初步證明，並於2014年8月10日用計算機完成了開普勒猜想的形式化證明，證明球體最緊密的排列是面心立方和六方最密兩種方式。
No.19 拉格朗日系統之解是否皆可解析
狀態：已解答
答案：肯定
1956年至1958年 Ennio de Giorgi 和約翰·福布斯·納什分別用不同方法證明。
No.20 一般邊值問題
狀態：未解決
一般邊值問題也叫「所有邊值問題是否都有解」，這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數學分支。還在繼續研究。
No.21 證明有線性微分方程有給定的單值群
狀態：已解答
答案：肯定
具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明已由希爾伯特本人（1905）和 H.羅爾（1957）的工作解決。
No.22 由自守函數構成的解析函數的單值化
狀態：部分解決
它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年 P.克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。
No.23 變分法的進一步發展出
狀態：未解決
這並不是一個明確的數學問題，而是一個開發性問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀以來變分法有了很大的發展。
後記
實際上希爾伯特本人提出的原本的 「23 個問題」 中很多並不是具體的問題，而是數學的研究方向。由於希爾伯特個人巨大的影響，使得許多數學家研究他的問題，很大程度上促進了數學的發展。
科學在每個不同時代會產生不同問題，而這些問題的解決又對科學發展有深遠的意義。雖然 23 個問題中有不少問題被證明解決，但並不意味著數學家們就此停止腳步，不同問題還有不同解決方法，不同解決方法中是否存在不足之處或不充分的地方，都需要更多數學家們繼續推動。
參考資料：
1. 數學可能有窮盡的一天嗎？
https://www.zhihu.com/question/55307215/answer/143887137
2.為什麼說希爾伯特和龐加萊之後人類再無數學家？
https://www.zhihu.com/question/21401664/answer/802714573
3. https://zh.wikipedia.org/wiki/希爾伯特的23個問題
本文經授權轉載自：圖靈教育 作者：圖靈君
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不代表中科院高能所立場
編輯：叄壹
