不變子空間的和諧旋律:愛彈鋼琴的八旬數學家繼續挑戰難題

不久前,一篇看起來很謙遜的論文被上傳到了arXiv預印本伺服器,標題是「關於希爾伯特空間中的不變子空間問題」。這篇論文只有13頁,它的參考文獻列表只有一個條目,其摘要表示這篇文章解決了數學家們已經研究了半個多世紀的拼圖遊戲的最後一塊:不變子空間問題。

在數學界很多懸而未決的開放性問題經常會吸引年輕人提出大膽的解決方案,希望藉此揚名立萬,但是這種努力通常很快就會被證偽。然而,這篇論文的作者,瑞典數學家Per Enflo 並不是一個雄心勃勃的後起之秀。他已經快80歲了,在這個領域深耕多年非常有名。

Per Enflo

Per Enflo

數學、鋼琴和一隻活鵝

Per Enflo 1944年出生於瑞典,是美國肯特州立大學的榮退教授,一生致力於數學研究,在多年的職業生涯中作出了很多卓越的貢獻:

1. 希爾伯特第五問題和一致同胚

2. 超反射巴拿赫空間

3. 基問題,近似問題和馬祖爾鵝問題

4. 巴拿赫空間中的不變子空間問題

5. 經典巴拿赫空間的同構結構

6.最小點和收縮預測

7.數論、多項式在許多變數中的乘積、低度濃度的多項式

8. 極值向量和不變子空間

……

同時,Per Enflo也是一位音樂家,不是那種玩票的業餘選手,而是能夠出唱片和開音樂會的鋼琴家,可能是瑞典目前最好的鋼琴家之一,曾演奏和錄製過許多鋼琴協奏曲,並在世界各地與管絃樂隊進行合作。

圖源:wyborcza.pl

圖源:wyborcza.pl

Enflo在功能分析領域建樹頗豐,除了在不變子空間問題上的工作之外,Enflo還解決了另外兩個主要問題:基問題和近似問題,這兩個問題都已經懸置了40多年。

通過解決近似問題,Enflo破解了一個等效的難題,稱為Mazur’s Goose Problem。波蘭數學家斯坦尼斯瓦夫·馬祖爾(Stanisław Mazur)在1936年承諾向任何解決這個問題的人獎勵一隻大鵝。到了1972年,他兌現諾言,將一隻大鵝送給了Enflo。

波蘭數學家Stanisław Mazur(左)遞給瑞典數學家Per Enflo(右)一隻活鵝。

圖源:Krystyna Mazurówna的家庭檔案

什麼是不變子空間?

如果讀者還記得曾經上過的線性代數課,記得那些被稱為向量、矩陣和特徵向量的東西,就容易理解了。矩陣是通過改變線的方向和/或長度來轉換向量的東西。如果一個特定的矩陣只變換一個特定向量的長度(意味著方向要麼相同,要麼朝相反的方向翻轉),我們稱該向量為矩陣的特徵向量。

向量是矩陣的特徵向量。非平凡復有限維向量空間上的每個運算元都有一個特徵向量,從而解決了這些空間的不變子空間問題

圖源:Lyudmil Antonov Lantonov 16:35, 13 March 2008 (UTC), CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

另一種思考方式是說矩陣將特徵向量(以及任何平行於它們的線)轉換回自身:這些線對於這個矩陣是不變的。我們將這些線稱為矩陣的不變子空間。

具有無限維數的空間呢?

所以這是一個不變的子空間。不變子空間問題稍微複雜一些:它是關於具有無限維數的空間,它想知道這些空間中的每個線性運算元(相當於矩陣)是否都必須有一個不變的子空間。

更準確地說:不變子空間問題詢問復巴拿赫空間 X 上是否每個有界線性運算元 T 都承認 X 的非平凡不變子空間 M,從某種意義上說,存在一個子空間 M ≠ {0},X 的 X 使得 T(M) 包含在 M 中。

以這種方式陳述,不變的子空間問題是在上世紀中葉提出的,並且一直懸而未決。球員射門不進只能感嘆自己能力不足,而當數學家無法解決問題時,他們通常會「移動球門柱」。研究這個問題的數學家通過將問題限制在特定類別的空間和運算子上來降低難度。

第一個突破是由Enflo在1970年代取得的(儘管他的結果直到1987年才發表)。他通過在巴拿赫空間上構造一個沒有非平凡不變子空間的運算元來回答這個問題。

那麼不變子空間問題的現狀如何呢?如果恩弗洛在1987年解決了,為什麼他再次發表新論文呢?其實Enflo在1987年解決了巴拿赫空間的問題,但是,有一種特別重要的巴拿赫空間叫做希爾伯特空間,它具有很強的幾何感,廣泛應用於物理學、經濟學和應用數學。

圖源:Getty

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解決希爾伯特空間上的運算元的不變子空間問題一直非常困難,而Enflo聲稱已經實現的正是這一點。他的答案是肯定的:認為希爾伯特空間上的每一個有界線性運算元都有一個不變的子空間。

同行評議尚未到來

據報道,Enflo本人對解決方案持謹慎態度,因為它尚未經過專家的審查。對Enflo早期證明的同行評審,對於巴拿赫空間來說,花了幾年時間。然而,那篇論文長達100多頁,所以對新論文的13頁進行審查應該要快得多。

如果結果被證明是正確的話,這將是一個了不起的成就,特別是對於一個一生都在鑽研這個領域並且已經年近八旬的老人來說,非常值得敬佩。Enflo對數學的許多貢獻,以及他對許多開放問題的回答,對該領域產生了重大影響,產生了新的技術和想法。

參考文獻:

1.https://theconversation.com/has-a-mathematician-solved-the-invariant-subspace-problem-and-what-does-that-even-mean-206859

2.https://arxiv.org/abs/2305.15442

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