指數函數和自然對數

指數函數和自然對數

我經常想e真正的意義是什麼呢?不是字母本身含義,而是作為一個數學常數的含義

通過查閱自然對數的定義,你會發現:

這個數學常數e是基於自然對數產生的。

自然對數原名為雙曲對數,他是基於一個無理常數e=2.71828…

這是一個正確的,但是毫無用處的循環定義。

很多數學書的解釋嚴謹卻枯燥無味,並不適合初學者理解。

現在收好你們那些枯燥無味的數學書,我將向你們展示我的領悟,高水平的洞察力。

e不只是一個數字

如果你認為是與一樣的無理數。確實,這是正確的,但是你的理解只是停留在表面。

π是圓周長與半徑的比,他是所有圓都與身俱來的的比例。影響著圓的周長和麵積、球體的面積和體積等的計算。π說明了所有圓都是有關聯的,並且三角函數也是起源於此。

e是連續增長系統的極限增量,e讓你得到那些一納秒增長一點點的複合增長的極限結果。他說明了無論那種系統的增長都是以連續的指數的形式增長的。如人口、反射性衰變等等都是用e來表示出來的。

e也是所有增長系統的單位增量。這就像每一個數字都可以用一個單位數字1來表示,每一段線段都可以用一個單位線段來表示,每一個系統增量都可以用一個單位增量e來表示

理解指數增長

讓我們從一個基本的系統來說起——翻倍的時間系統。

細菌可以在每24個小時就翻一倍

如果你的收入是資產100%,那麼你的資產可以每年翻一倍

那麼這些看起來如下圖:

那麼這些看起來如下圖

用小圓點表示:在每一次細菌進行分裂的時候,小圓點都分裂都成兩倍。

如果我們讓他分裂1次就得到,分裂4次那麼就是,分裂x次,我們就會得到。

不失一般性:

用另一種方式表達的話,那就是以100%的增長率來表示:

事實上,這兩個式子是等價的。

當然,我們可以使用任何的百分率(25%、50%、75%……)來代替100%,就會得到一個新的增長率公式,所以不失一般性,所有的式子可以表示為:

細究

我們的式子中增量是以離散的方式分佈的,我們的細菌是等待一段時間後,在某個時刻突然分裂出另一個。我們感興趣的是,細菌如何像魔術一樣的到達某時刻時突然分裂出另一個呢?基於增量公式,綠色細胞是突然在一個單位時間出分裂出來(如上圖)。但現實不是如此,如果你放大來看(如下圖),細菌每時每刻都在分裂。

綠細胞並沒有立即被分裂出來,而是慢慢地進行著。當到達一個單位時間,綠細胞就分裂完整了。然後他就會變成一個新的藍細胞然後繼續剛剛的分裂。

在這個式子中,條件改變了麼?

沒有,在這個細胞分裂的情形中,分裂一半的綠細胞依然啥事都沒做,直到他完整的從藍細胞中分裂出來。

但是錢的計算過程是不相同的。當我們用一美分獲取利息時,這一美分每時每刻所產生的利息都可以立即成為本金繼續產生利息。我們並不需要等待他直到我們能完整賺得一美元后。

基於我們舊的思考方式,利息增長看起來如下圖:

基於我們舊的思考方式,利息增長看起來如下圖

這並不是正確的答案,我們的利息增長不是在某個時刻突然產生的。讓我們放大來看,我們的利息每時每刻都在增長。我們可以在一年內賺取100%的金額,也可以在6個月內賺取50%的金額。然後,後6個月賺取剩下的50分:

但是這仍然不正確!在六個月時,我們已經有50美分了,我們忘記了一點,就是這50美分在接下來的時間裡也會有利息的。如下圖:

因為我們的比例是50%每半年,所以50美分會賺得25美分,所以下一年,我們將得到

原來的一美元(藍點)

一美元所賺得的一美分(綠點)

50美分所賺得的25美分(紅點)

我們一共獲得2.25美元。讓我們回到一開始的公式,增量可以寫成如下公式:

深究複雜的增長

是時候步步深入了,剛剛我們用50%代替了100%,如果我們繼續放大,使得每4個小時增長來賺取我們的利息,我們畫出更多的點來看看情況:

0月:我們從藍點一美分開始

0月:我們從藍點一美分開始

4月:藍點已經賺取了自己的1/3,得到了綠點,約為33美分

8月:藍點賺得另一個33美分,然後把它給你綠點,綠點變成66美分。33美分的綠點也賺取了自己的1/3產生了紅點,約為11美分。

12月:這些東西變得更瘋狂,藍點有賺得33美分,再一次的給了綠點。66美分的綠點也賺得了自己的1/3,約為22美分,並給了紅點。11美分的紅點也賺得了33%,產生了紫點,約為4美分。

完美!前後12個月一共賺得1+1+0.33+0.04=2.37

我們重新整理一下這些增長變化是如何發生的吧:

每一種顏色點把他自己的利息傳給另一種顏色。而新產生的金錢又會賺取自己本身的利息,如此循環反覆。

藍點原來的金錢始終沒有改變,每4個月提供固定33美分給綠點。如圖,藍點上的藍色箭頭所表示的就是他如何提供給綠點。

作為綠點,他無時無刻的增長,同時他提供給紅點的金錢也越來越多。在4~8月之間綠點給紅點11美分;在8~12月之間,他給了22美分給紅點,因為在第8個月綠點變為66美分。如果繼續寫下去,那麼綠點會給紅點33美分,因為綠點在12月時已經變為一美元了。

懂麼?萬事開頭難,所以我把我的思路和圖表放在一起,以便於大家理解。如此我們就得到了一個增長率為1/3的等式

我們一共得到了2.37美元,比之前的2.25美元多了0.12美元。

我們的獲得的金錢能無限增長麼?

為什麼我們不用更小的增長率來獲得跟多的金錢呢?我們獲得金錢只會趨近於一個點,我嘗試著用數據證明這個問題,而不用複雜的微積分:

n

1

2

2

2.25

3

2.37

5

2.488

10

2.5937

100

2.7048

1,000

2.7169

10,000

2.71814

100,000

2.718268

1,000,000

2.7182804

……

n取得越大值,他的結果越接近2.71828……,等會,這不就是我們的e麼?

沒錯,在令人厭惡的數學中,e被定義為連續增長系統的極限增量:

這個極限式子的結果就是e,同時,正如你所見,我們最後的金錢只能接近於e,而不能無限上漲。

他們全部的含義是啥?

e是一個時間單位內的增量。在每一個微小的步驟中所創造的利息也會開始增長。當所有事情都完成時,你就會的到e。

所以,如果你從一美元開始,我們就會得到1e,如果我們從2美元開始,那麼我們就會得到2e。如果我們從11.79美元開始,就會的到11.79e。

e是一個增長極限。如光速c代表光的速度一樣,代表著增長系統的增長速度,你不可能達到增長的極限,但是,依據這些參考點和通用的常數,你可以寫下每一個增量

如果增長率不同呢?

這是個好問題,如果我們使用50%來代替100%,我們仍能得到e嗎?

注意,如果用50%的複合增長率,我們能得到如下公式:

那麼,接下來我們該怎麼辦呢?如上所說,50%是增長率,而數字n是代表將復增長率分為n個週期進行復合。如果n為50,那麼,就是把50%分為50個週期,每個週期為1%。

那麼,回憶一下,我們在上面表格中也有100%分為100分,即:

恩,好像有什麼相似的地方,我們把100%分為100份,每份是1%;50%分為50份,每份也是1%。如此就能得到下述公式:

這非常神奇,,這跟e的冪是一樣的。如果我們換成300%,那麼,e的冪也會變為3倍,即。

雖然我們使用的是1%,但是你可以用任何一個更小的數,如0.1%、0.01%等等,但是得到的結果都是一樣的,那就是如下公式:

如果是不同的單位時間呢?

如果我們300%的單位時間是2年呢?通過我們的證明得到如下:

(證明過程不在贅述,有興趣同學可自己查閱下方參考文獻。)

不失一般性:

這就是數學的魅力,我們通過冪的形式吧,增長率和單位時間聯繫在一起。

在函數中,我們能得到如下的兩個信息:

x可能是增長率為100%,單位時間為3年,即

x也可能是增長率為300%,單位時間為1年,也為

讓我解釋下這個現象,這是說明100%的增長率在3年內和300%的增長率在1年內的總影響是相同的,而不是以後每個時間段都相同。

【注】本文內容部分翻譯自https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/

編輯 ∑Gemini

來源:數學算法俱樂部

來源:數學算法俱樂部

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