數學史上每一個突破都需要紮實的基礎工作。
公元前三世紀，阿基米德提出一個關於放牧牛群的謎題，並聲稱只有真正聰明的人才能解開。他的問題最終歸結為一個涉及兩個平方項之差的方程，即 x^2 – dy^2 = 1。其中，d 是一個整數（可能是正整數或負整數），而阿基米德提出的問題要求解 x 和 y 也是整數。
這類方程被稱為佩爾方程，幾千年來一直讓數學家們著迷。
在阿基米德之後幾個世紀，印度數學家 Brahmagupta 和後來的數學家 Bhāskara II 發明了找出這類方程整數解的演算法。在 1600 年代中期，法國數學家 Pierre de Fermat 發現在某些情況下，即使為 d 分配了一個相對較小的值，x 和 y 的最小整數解可能很大。例如方程 x^2 – 61y^2 = 1 的最小整數解為 9 位或 10 位。而 d 值較大時，如要列印出 x^2 – 4729494y^2 = 1 的最小整數解需要 50 頁。
佩爾方程的解用處有很多，例如通過求解佩爾方程， √2（一個無理數）可以近似為兩個整數的比值，即 x/y 的形式。
更有趣的是，佩爾方程的解還與特定數字系統——「環」相關。在環中，√2 可能會與整數相鄰。事實證明，佩爾方程可以幫助數學家了解環的特性。
因此，許多非常著名的數學家都研究了佩爾方程，包括費馬、歐拉、拉格朗日和狄利克雷。現在，來自蒙特利爾康考迪亞大學的數學家 Peter Koymans 和 Carlo Pagano 證明一個幾十年前的猜想與佩爾方程相關，該方程量化了某種形式的方程具有整數解的頻率。他們的研究還用到了群論的思想。
Peter Koymans
下面我們根據方法類型，了解一下數學家們為解決佩爾方程分別做出的努力。
樸素的算術方法
20 世紀 90 年代初期，荷蘭萊頓大學的數學家 Peter Stevenhagen 猜想佩爾方程可以使用群論來推測方程整數解的間隔。現在 Stevenhagen 驚訝地說：「我沒想到這個猜想這麼快就被證明了。」
Stevenhagen 的猜想依賴於環的一個特定特徵。例如，在整數中添加了 √−5 的數字環中（數學家經常使用像 √−5 這樣的「虛數」），有兩種不同的方法可以將數字拆分為其素因數。例如，數字 6 不僅可以寫成 2 × 3，還可以寫成 (1 +√−5) × (1 –√−5)。結果，在這個環中，算術基本定理（即正整數的唯一分解定理）就不成立了。這種情況被編碼在與該環關聯的對象中，稱為類群（class group）。
數學家深入了解他們感興趣的數字系統的一種方法就是計算和研究其類群。然而，很難確定類群在不同數字系統中的規則。
20 世紀 80 年代，數學家 Henri Cohen 和 Hendrik Lenstra 就這些規則應該是什麼樣的提出一系列關於類群的廣泛猜想，被稱為「Cohen-Lenstra heuristics」，反過來也揭示了數字系統的屬性。
儘管很多計算似乎支持 Cohen-Lenstra 猜想，但這仍然只是猜想，而不是證明。
有趣的是，一個類群的典型行為與佩爾方程的行為密不可分。理解一個問題有助於理解另一個問題——以至於 Stevenhagen 的猜想「對於 Cohen-Lenstra 啟發式演算法取得的任何進展來說也是一個檢驗問題」，Pagano 說道。
新工作涉及負佩爾方程，其中 x^2 – dy^2 設置為等於 -1 而不是 1。原始 Pell 方程對於任何 d 值總是有無限數量的整數解，但並非所有 d 值的負佩爾方程都有解。以 x^2 – 3y^2 = -1 為例，就是一個無解的方程，即使 x^2 – 3y^2 = 1 有無限多的解。
實際上，有很多 d 值使得負佩爾方程無解，例如 d 是 3、7、11、15 時均無解。但是，即使您避免了這些 d 值並僅考慮剩餘的負佩爾方程，也並不總是能夠找到解決方案。
1993 年，Stevenhagen 提出了一個公式，認為在可能有解的 d 值（即不是 3、7 等的倍數的值）中，他預測大約 58% 會產生具有整數解的負佩爾方程。Koymans 和 Pagano 在 30 年後證明了 Stevenhagen 的猜想。
更優的方法
2010 年，一篇發表在《Annals of Mathematics》上的論文表明適用於負佩爾方程的 d 值的比例在一定範圍內。為此，論文作者 Étienne Fouvry 和 Jürgen Klüners 掌握了相關類群的某些元素的行為，並需要了解更多元素，才能了解 Stevenhagen 更精確的 58% 估計。不幸的是，有些元素仍然難以理解：仍然需要新的方法來理解它們的結構，幾乎不可能有進一步的進展。
2010 年發表於《Annals of Mathematics》的論文，論文地址：https://annals.math.princeton.edu/2010/172-3/p13
2017 年 Koymans 和 Pagano 一起在萊頓大學讀研究生時，一篇論文的出現改變了一切。「當時我就意識到這將是解決佩爾方程的重要工具」，Koymans 說道。
論文地址：https://arxiv.org/abs/1702.02325
這篇論文的作者是哈佛大學的研究生 Alexander Smith，他現在是史丹佛大學的 Clay fellow。Smith 一直在探究橢圓曲線方程解的性質。在研究這個問題的過程中，他驗證了 Cohen-Lenstra 猜想的特定部分，並且恰好涉及 Koymans 和 Pagano 的工作中關於類群的部分。
然而，Koymans 和 Pagano 不能簡單地直接使用 Smith 的方法。Smith 的證明涉及與數字環相關的類群，在環中 √d 與整數相鄰。Smith 考慮了 d 的所有可能整數值，而 Koymans 和 Pagano 只考慮了這些 d 值的一小部分。
Koymans 和 Pagano 需要根據問題對 Smith 的方法做出多個調整和修改。此外，他們不僅需要描述一個類群，而且需要描述兩個不同類群之間存在的差異，這也是他們證明 Stevenhagen 猜想的主要部分。
Carlo Pagano
Koymans 和 Pagano 非常仔細地梳理了 Smith 的論文，Smith 當時也在不斷完善這篇論文，多次做出了必要的更正。Koymans 和 Pagano 一起逐行學習了這個 Smith 的證明方法，過程漫長枯燥，但穩步向前。終於在一年後，Koymans 和 Pagano 找到了需要嘗試新方法的地方。
為了建立適當程度的隨機性，Koymans 和 Pagano 證明了一組稱為互反律（reciprocity law）的複雜定理，這使得他們能夠控制兩個類群之間的差異。
這一關鍵突破讓他們終於在今年早些時候完成了 Stevenhagen 猜想的證明。
五年前，Smith 證明了 Cohen-Lenstra 猜想的一部分，被認為是打開了許多問題的大門。現在，Koymans 和 Pagano 證明了 Stevenhagen 猜想。Smith 對此表示：「他們的工作讓我感到驚訝，雖然其中包含了我的部分方法，但他們把這種方法用於我不了解的方向，讓研究向前邁了一步。」
格拉斯哥大學的數學家 Alex Bartel 評價稱：「Smith 告訴我們如何製造鋸子和錘子，我們現在要做的就是讓它們儘可能鋒利，儘可能堅固，儘可能適應不同的情況，Koymans 和 Pagano 的工作就是朝著這個方向前進了一大步。」
雖然 Cohen-Lenstra 猜想的其餘部分仍然遙不可及，但 Koymans 和 Pagano 的工作表明我們已經找到了向前推進的方法。
原文連結：https://www.quantamagazine.org/ancient-equations-offer-new-look-at-number-groups-20220810/