庫默爾的困惑
1846年，德國數學家恩斯特·庫默爾（Ernst Kummer）首次注意到了一個與數字有關的疑惑，並隨之提出了一個猜想。自那之後，尋找這個猜想的證明便成了許多數學家的目標。
到了20世紀50年代，普林斯頓高等研究院（IAS）的一組研究人員用計算機對這個問題進行了研究，發現庫默爾所認為的這一數論的奇特特徵其實是錯的。但之後，一些數學家又發現了能夠表明這一猜想實際上是正確的的跡象。
在經過一番曲折之後，現在，來自加州理工學院的兩位數學家Alexander Dunn和Maksym Radziwill終於為這個謎題畫上了完美的句號，他們找到了證據證明——庫默爾一直是對的。2021年9月，他們將證明發表在了預印網站arXiv上。
二次和三次高斯和
這個數學謎題與高斯和（Gauss sum）有關。高斯和是由18世紀著名數學家卡爾·弗里德里希·高斯發展出的一個複雜概念，它能夠很容易地對映方程解的分佈。
這種求和涉及到模運算。理解模運算的一個簡單方法就是類比我們生活中常見的鐘表：錶盤被分成12份，每份代表一個小時，當中午或午夜到來時，數字就會重置並返回到1。
模運算是數學中的一種剝離資訊，使複雜到不可思議的方程變得更簡單的有效方法。這個「模12」系統簡化了計時過程，使我們不需要無休止地一直計數每一個小時。
在計算二次高斯和時，高斯也用到了與鐘錶計時非常類似的模運算。他研究的是非平凡素數（用p表示，指除以3後餘數為1的素數）的二次高斯和的分佈，這些素數p以e2iπn^2/p的形式相加。
二次高斯和。
到了19世紀中期，庫默爾開始感興趣於一個與二次高斯和很類似的公式，將e2iπn^2/p的指數中的n²替換成了n³。那時，他只能依靠筆和紙對這些和進行計算，計算難度非常大。而且為了能將答案一個一個地繪製在一條數軸上，他還必須先將數值答案正規化，使它們都落在-1到1之間。
三次高斯和。
他艱難地計算了前45個非平凡素數的三次高斯和。在繪製出數值分佈後，他觀察到了出乎意料的結果：理論上，經過正規化的三次高斯和可以是-1到1之間的任何值，但他卻發現這些結果的分佈並不是均勻隨機的，而是更多的趨向於聚集在數軸的正向端，也就是1附近——約有一半在1/2到1之間，1/6在-1到-1/2之間。
也就是說，庫默爾觀察到了一種偏倚。於是，他提出猜想：如果能繪製出無窮多個三次高斯和的分佈，會發現它們大多位於1/2到1之間，−1/2到1/2之間較少，−1到−1/2之間更少。
庫默爾錯了？
時間來到上世紀50年代，由數學家阿特勒·塞爾伯格（Atle Selberg）與約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）等人開始用早期計算機計算所有小於10,000的非平凡素數的三次高斯和，這一計算大約包含了1500多萬次的乘法運算。當他們將這大約600個數值結果標記在數軸上時，驚奇地發現，之前庫默爾看見的偏倚消失不見了。
他們注意到，隨著素數變得越來越大，正規化的高斯和會越來越傾向於不聚集在1附近，而是呈隨機分佈。他們認為，庫默爾的猜想或許錯了。
1978年，劍橋大學的數學家塞繆爾·帕特森（Samuel Patterson）試圖更深入地理解三次高斯和。他對這一問題的研究始於思考將這些數字隨機放在-1和1之間的情況：如果將N個這樣的隨機數字相加，那麼總和的標準大小將為√N（它可以是正的或負的）。同樣，如果三次高斯和均勻地分佈在−1到1之間，那麼就可以預期N個高斯和的總和大約為√N。
帶著這個想法，帕特森把N個三次高斯和加起來，並暫時忽略了都是素數的要求。他發現總和會落在N5/6左右，N5/6比√N大，但比N小。這個值告訴了帕特森一些重要的資訊：在更早的時候，有數學家已經證明，一組真正隨機的結果之和大約為√N，如果總和約為N5/6，則意味著這些和基本上是隨機的，但存在一個細微的額外因素會使它們略微更向正值偏倚。
如果情況果真如此，那麼就解釋了為什麼庫默爾的結果看起來並非隨機，以及為什麼隨機性會隨著素數的增加而越趨明顯：這是一個漸進問題，當N較小時，這個額外的因素足以以明顯的方式影響結果，顯現出偏倚；但隨著N越來越大，分佈中的隨機性就會開始蓋過偏倚，所以能夠看到的就只有隨機性。
帕特森認為，如果能觀察到無限個三次高斯和的樣子，就會發現它們是均勻分佈的。可惜的是，帕特森無法用素數進行這樣的計算。1978年，他正式將它寫成了一個猜想：如果把素數的三次高斯和相加，能得到相同的總和落在N5/6左右的情況。
證明帕特森猜想
帕特森自己無法證明這個猜想，直到去年，Dunn和Radziwill才終於弄明白究竟為什麼會這樣。
兩年前，Dunn和Radziwill決定一起破解帕特森猜想問題。他們的解決方案是基於牛津大學的羅傑·希思-布朗（Roger Heath-Brown）的工作。希斯-布朗曾和帕特森合作研究過這個問題，當時，兩人的合作在這個問題上取得了一些進展，但仍然不能真正證明帕特森預測的N5/6偏倚情況對素數來說也成立。
然後在2000年，希斯-布朗取得了一項突破，他發展了一種名為三次大篩法的工具，這個工具在幫助證明帕特森猜想方面發揮了重大作用。他證明了如果將小於N的素數的三次高斯和相加，結果不會比N5/6大很多。可以說，希斯-布朗離勝利已經非常接近，但仍沒有達成完整的證明。
希斯-布朗認為通過改進大篩法本身，還能進一步改改善結果，從而證明帕特森的猜想。通過簡短的文字，他勾勒出了他認為的最好公式。但在這之後，數學家們鮮少取得進展。
直到近年來，Dunn和Radziwill發現，當他們使用希斯-布朗在2000年寫下的三次大篩法的公式時，意識到這似乎存在一些不對的地方，大篩法並不能很好地運作。於是，他們重新校準了研究帕特森猜想的方法。
2021年9月15日，他們發佈了他們的論文。他們的證明似乎是成功的，除了還有最後一個小問題：在他們的證明中，有一個部分依賴於尚未被證明的廣義黎曼猜想，這也使得他們的證明是有條件的。
被指出「犯了錯」的希斯-布朗在了解了這篇新的論文後並沒有沮喪，而是認為Dunn和Radziwill出人意料地洞悉了三次大篩法中的問題，幫助數學家們擺脫了大篩法的誤導，為這一問題帶來驚喜的結局。
#創作團隊：
撰文：佐佑
排版：雯雯
#參考來源：
https://www.caltech.edu/about/news/caltech-mathematicians-solve-19th-century-number-riddle
https://www.quantamagazine.org/a-numerical-mystery-from-the-19th-century-finally-gets-solved-20220815/
https://www.iflscience.com/after-175-years-two-false-conjectures-and-the-birth-of-computing-this-theorem-finally-has-a-proof-65065
https://arxiv.org/pdf/2109.07463.pdf
#圖片來源：
封面圖&首圖：PIRO4D / Pixabay
