淺談量子行走

撰文丨薛鵬 北京計算科學研究中心

撰文丨薛鵬 北京計算科學研究中心

量子行走是經典隨機行走在量子世界中的推廣。而經典隨機行走是指行走者在特定路線或區域無規律地運動,例如花粉的布朗運動。自1905年愛因斯坦根據擴散方程揭示布朗運動的原理以來,經典隨機行走不僅對物理學產生了深遠的影響,還廣泛地應用於化學、地理、生物及經濟學等學科

對比經典情形,量子疊加和量子干涉等特性導致量子行走的擴散速度與經典隨機行走相比有平方式的增長(quadratic enhancement of spreading),體現出優於線性的經典擴散——以更快的速度來擴散所攜帶的量子信息。因此最初科學家關注的是利用量子行走開發新的量子算法。對一些經典上的難問題,例如黑盒子問題,基於量子行走的算法可以提供指數加速,。而對於另外一些特定問題,比如元素分離問題,三角搜索問題, NSND樹判斷問題等,相比於經典算法,量子行走算法也可以提供多項式加速。隨著這一領域的不斷發展,量子行走的新機理和新應用成為了人們普遍關注的焦點。

與經典隨機行走一樣,量子行走也可以分為連續時間量子行走[1]和離散時間量子行走[2]。連續時間量子行走的思路來源於經典的馬爾科夫過程,微觀粒子在Hilbert空間的任意演化過程都可以理解為連續時間量子行走,可見量子行走的普適性。相比於連續時間量子行走,離散時間量子行走中存在兩個自由度——行走者和硬幣。行走者拋擲硬幣,決定行走的方向。在經典行走過程中,行走者每次只能朝一個方向走,例如硬幣拋擲的結果是字向上行走者就向左走一步,花向上就向右走一步。

而在量子化的行走過程中,由於硬幣是量子化的粒子,遵循量子力學的疊加性,因此硬幣拋擲的結果可以是字和花的疊加態,因而量子行走者可以以一定的機率同時向兩個方向走。在量子行走中,拋擲硬幣可由對量子硬幣的么正演化實現,量子行走可由量子硬幣和行走者之間的相互作用實現。連續時間和離散時間量子行走看似不同,實則都是微觀粒子的么正演化過程,而行走者擴散速度與經典相比均呈現平方式的增長,並且後經證明兩者是可以通過空間維度擴展實現相互之間的轉換

連續時間量子行走多用於開發量子算法[3],例如搜尋一個圖的中心點,將圖對應的鄰接矩陣作為Hamiltonian,其對應的演化算符就是量子行走的過程,初始狀態設為圖的所有頂點的等權疊加,量子行走的過程就是反覆迭代放大要找到的那個態,即圖的中心。而在2009年[4]和2013年[5]Andrew Childs等證明了連續時間量子行走可以實現通用的量子計算,這是量子行走的研究歷程中一個里程碑式的進展

與此同時,離散時間量子行走也顯示出其優越性和廣泛的應用。因為可以通過空間維度擴展實現連續時間到離散時間量子行走的轉變,我們團隊在2017年[6]和2020年[7]利用離散時間量子行走實驗演示了quantum centrality算法和quantum PageRank算法。除此之外,離散時間量子行走中有較多的可控的自由度,包括硬幣和行走者。行走者可將硬幣的態攜帶至合適的位置,而硬幣旋轉的過程即可實現對特定位置的硬幣態的么正演化,進而可以驗證量子物理的基本問題,可為量子通信、量子測量、量子模擬等量子信息處理的實現提供新的視角。

量子行走的理論模型早在上世紀90年代出就建立,隨著對其物理機制和應用的廣泛研究,人們開始嘗試用各種物理體系在實驗上演示和實現量子行走。我們團隊則選用光子的偏振作為量子硬幣,光子的路徑自由度作為行走者來實現量子行走。光子是很好的飛行量子比特,尤其常常用於量子通信。

隨著團隊在量子行走在理論和實驗方面的深入研究,我們開始思考量子行走能否應用於量子通信。我們認為這主要取決於量子行走中是否存在信息的傳播擴散與恢復。2015年我們逐漸認識到對量子行走中多種不同自由度的位置、位相、演化時間等條件逐一加以控制操作,發現通過依賴於演化時間的硬幣拋擲操作,只要選擇合適的拋擲參數,攜帶信息的量子行走者和量子硬幣的態可以在任意的偶數演化時間後恢復至初始狀態,而在此之前態依然遵從量子行走的擴散規律,從而證實了量子行走中存在信息的擴散與恢復。

繼而我們利用參量下轉換產生的標記單光子的空間模式作為量子行走者,光子的偏振作為硬幣,實現了在由光束偏移器構建的部分級聯的干涉儀中十六次演化,連續兩次觀測到了週期為八步的量子行走中信息完全恢復的現象。實驗中涉及到的利用三明治式波片組實現依賴於演化時間的硬幣拋擲操作及具有極高幹涉可見度的十五級的部分級聯干涉儀,均為該實驗的創新點和技術難點,而十六步的演化也打破了當時澳大利亞團隊創造的單光子量子行走的最長演化紀錄。這一理論的提出及實驗的驗證[8]修正了人們以前對量子行走的認識,併為量子行走在量子信息中的應用提供了新的方向。

我們已經證實量子行走可以用於量子計算和量子通信,而量子信息科學的另一核心目標是量子測量,量子行走能否應用於量子測量呢?量子測量既是研究量子信息必要的技術手段,也是一種利用量子特性實現超越經典極限的高精密測量的方法。最為普適的量子測量是廣義量子測量即正定算符測量(Positive Operator-Valued Measure,簡寫為POVM),不但能識別正交的態,而且可藉由輔助量子比特對非正交量子態進行無差錯的識別,因此在量子信息中有著重要的地位。實現正定算符測量最重要的就是對測量算符的構造。正定算符測量集合中的測量算符的元素個數增加要求輔助量子比特的希爾伯特空間維度隨之增加,這就給實驗實現帶來了相當的難度。

我們基於對量子行走這一課題的深入研究,發現其中行走者和硬幣的關聯提供一個理想的待測和輔助體系。將待測信息加載在硬幣的初始態,經過依賴於位置的量子行走過程,攜帶不同初始硬幣態的行走者會走到不同的位置,通過對行走者的位置進行的正交測量,即完成對待測的硬幣初始態的正定算符測量。與以往不同的是,而隨著正定算符測量集合中的元素數目的增加,只需要增加量子行走的演化時間而不需要擴展輔助比特的維度,從而大大降低了實驗難度,增加了正定算符測量的可實現性及可擴展性。基於這一理論,我們用線性光學體系首次實驗上實現了基於量子行走的正定算符測量。通過依賴光子空間模式的量子行走演化,構建了正定算符測量的測量算符,成功地對非正交態進行了最優化的無差錯態識別,同時實驗構建了完全對稱信息的正定算符測量(Symmetric Informationally Complete Positive Operator-Valued Measure)

實驗中通過特定角度的波片實現依賴空間模式的單光子偏振態的操作,從而影響行走者+硬幣的體系即光子演化,這個是此項實驗中的主要難點。我們可以做到總的可見度高達99.2%的多階級聯的馬赫澤德干涉儀,從而通過依賴位置的量子行走實驗構建任意rank1/2的單比特的正定算符測量[9]。利用量子行走實現量子測量這一理論的提出及實驗的實現為量子行走在量子信息中的應用提供了新的方向,與量子算法和通用的量子計算並列為量子行走的三大應用。之後我們利用量子行走實現的非負性測量和鈍化測量驗證了量子力學和互文性[10,11,12],及宏觀實在性[13,14,15]之間的違背。

量子行走還可以用於量子模擬,所謂量子模擬通常是指利用一個我們比較熟悉的物理系統,讓其在與欲模擬的系統(往往是相互作用複雜,實驗難於實現的系統)相同的規律下演化,通過對演化結果的觀察來獲得我們想要的信息。尤其是光量子行走,因為光子的靜止質量為零,無法構建真實的時間演化,而量子行走則提供了一個離散的真實的演化過程,因此更加有利於實現量子模擬。而以往人們對量子行走的研究集中在量子體系的么正演化問題,這是因為在傳統的量子力學中,描述一個量子體系的哈密頓量必須具有厄密性,對應的演化是么正過程。

但實際體系往往是開放的,對其進行有效地描述,必須用非厄密性的哈密頓量,對應的演化是非么正過程。而這種演化的實驗面臨著本徵能量不是實數的困難。研究發現,非厄密但滿足宇稱-時間對稱性(Parity-Time-Symmetry)的哈密頓量具有實的本徵能量,從而為解決前述困難提供了可能。在此基礎上,我們設計了這樣的開放系統,滿足宇稱-時間對稱性;並首次在實驗上實現了非厄密的量子行走,研究該行走過程的新機理和新物性。

2017年我們提出了一個適用於開放系統且滿足宇稱-時間對稱性的無源量子行走模型,該模型可以描述現實的量子體系[16]。而且,不同於以往實驗中所採取的經典光場,我們使用單光子量子光源,在線性光學體系中首次實現了滿足宇稱-時間對稱的「真正」的量子系統的動力學演化過程,觀測到新型的一維拓撲保護邊界態。進一步把宇稱-時間對稱量子行走的定義和框架拓展到更為普適的非厄密量子行走,研究其拓撲性質,實現了對拓撲不變量的直接測量。拓撲不變量可由幾何位相或卷繞數來描述,通過計算得到。但是,直接測出拓撲不變量是一個極具挑戰性的實驗技術問題。通過測量量子行走中光子的平均位移,我們首次實現了拓撲不變量的直接測量[17]。

2019年初,我們開始應用量子行走來研究非平衡系統的動力學量子相變,這是一種量子多體系統的重要物性,是近年來量子計算和量子模擬領域的一個重要的研究前沿。不同於傳統意義上溫度驅動的相變,動力學量子相變是一種非平衡相變,是時間驅動的量子非解析行為,對於理解量子多體系統的動力學演化過程及其物理特性至關重要,這方面的實驗裝置和原理可用於開發及製備量子非互易器件。運用單光子量子行走,我們模擬了拓撲系統的動力學淬火過程,系統地研究了淬火過程中的動力學量子相變,直接測量得到動力學拓撲序參量[18,19]。我們再次利用量子行走的動力學淬火過程,設計了通過位置空間測量來重構動量空間密度矩陣的實驗方案,觀測到動量-時間域衍生的斯格明子結構,展示宇稱-時間對稱性穩定衍生斯格明子結構的關鍵作用[20]

2020年,我們開展了在開放系統的光量子行走中非厄密趨膚效應和非厄密體-邊對應關係(bulk-boundary correspondence)的研究。趨膚效應原本是指,當導體中有交流電或交變電磁場時電流集中在導體外表層的現象。這裡,我們借用這個名詞來描述非厄密體系中拓撲邊界態和體態(bulk state)都會局域在拓撲體系邊界上的現象。這種效應的出現意味著傳統厄密體系中拓撲物相的體-邊對應關係在非厄密體系中不再成立;因此如何描述和確定非厄密拓撲體系中的拓撲物相則需要新的體-邊對應關係和新的拓撲不變量,這是一個重要的、亟待解決的科學問題

為了解決這一問題, 我們利用單光子量子行走的物理平臺,設計了直接測量光子演化的波函數的方案。利用這項創新性實驗技術,在理論合作者的協助下,我們從理論上給出了能夠正確表徵非厄密體系拓撲邊界態的拓撲不變量和體-邊對應關係,並在實驗上成功地開展動力學的量子模擬,首次觀測到非厄密趨膚效應及魯棒的拓撲邊界態, 確立並驗證了非厄密體系的體-邊對應關係[21]。

總之,量子行走以其優越的量子特性及多個可獨立調控的自由度,提供了一種可程序化的簡單模式,實現了量子信息處理過程中的諸多關鍵步驟,而量子行走的新機理和新應用依然吸引著更多的科研工作者的關注

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寫在最後——

寫在最後——

瞭解我的朋友可能知道,我是做量子光學的理論出身,在2013年才以37歲「高齡」嘗試進入量子信息和量子光學的實驗研究的領域。當時的想法特別簡單,現在看起來卻有點孤勇,傻小子睡光炕的意思,除了對於實驗物理的好奇和進一步探祕的興趣這一最主要的驅動之外,就是覺得做純理論和proposal我已經經歷過了,對於自己的從事理論研究的能力有了判斷,想試試自己能不能適應實驗研究,說白了還是想證明自己。

有人覺得我在奔四的年紀,從零開始,帶著兩個學生,從借儀器和晶體開始,一手一腳地嘗試做實驗,很有勇氣。的確,作為一個70後,我們還是趕上了那個「車馬很慢」的時代的尾巴,又免於食不果腹的狼狽,才能夠遵從內心,安於平淡,有勇氣去試錯。很幸運地是最終還是搭起了小的實驗攤子,並且有了一些結果。各中種種,不足人道。唯一值得提及就是今天或未來的成果,除了各級領導各界同仁的關心支持之外,我所做的就是堅持。成功之後的堅持是不難的,屬於正向激勵,但是不停地試錯及失敗中的堅持,是艱難的,有的時候甚至是痛苦的,這卻是人生常態。只要心向光明,苦中也有回甘

有時我也會同情現在的90後、00後的從事基礎科研工作的學生和青年學者,出生在物質文明和精神文明都豐富的年代,成功的概念本該更加多元化,但是在政協會議上院士關於「板凳甘做十年冷」的號召與媒體充斥著80後校長,90後教授,35歲上市公司CEO,25歲天才少年連發頂刊等出名趁早這兩種觀點之間徘徊,每人都有著自己的思考和掙扎。人生彷彿被設定好了,每一階段的目標都被安排的明明白白,一步錯過步步錯過,試錯的成本越來越高,堅持的意義被一句「選擇比努力更重要」輕鬆打敗…

寫這幾句話的意圖是希望能夠鼓勵到年輕的學生,人生無論到了任何階段都依然有那麼多的可能性。世界上不僅僅有年少有為,也有馮唐李廣,更多的普羅大眾為了理想和興趣的堅持,而這些都是合理而且美好的。

薛鵬,女,北京計算科學研究中心教授,博導。1999年以優異的成績畢業於中國科學技術大學物理系,獲得學士學位,並免試進入本校中科院量子信息重點實驗室攻讀博士學位,師從郭光燦院士,2004年7月獲得博士學位。之後赴奧地利因斯布魯克大學物理系、奧地利科學院量子光學和量子信息研究所,以及加拿大卡爾加里大學物理系作為博士後從事量子信息的物理實現以及量子光學的基礎研究工作,致力於利用量子行走實現普適的量子信息處理平臺的研究工作。

2009年回國加入東南大學物理學院,2018年調入北京計算科學研究中心。在國際頂級學術期刊包括:Nature Physics, Physical Review Letters,Nature Communications等以第一/通信作者發表學術論文百餘篇,並且得到國內外本領域重要專家學者的廣泛關注,文章被引用兩千餘次,單篇引用最高達百餘次。

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