為什麼久賭無贏家?賭徒輸光原理

為什麼不要賭博?這個問題要年年講月月講,之前我做了一個視訊「為什麼久賭無贏家」,這回我把視訊轉成文字版供大家複習。視訊請點選此處。

我們經常聽說一句話:久賭無贏家。即便是一個看似公平的賭博遊戲,只要長期賭博下去,賭徒也一定會傾家蕩產。你知道這是為什麼嗎?

我們來看一個例子:假如有一個公平的賭博遊戲,在每一局裡,賭徒都有50%的可能贏1元,也有50%的可能輸1元。賭徒原來有A元,他會在兩種情況下退出:要麼輸光所有的錢,要麼贏到B元。請問,他最終輸光本金而離開的概率有多大?

我們可以用圖像來描述這個問題。有一個數軸,賭徒位於A位置。他每一次會隨機的向左或者向右移動一格。如果移動到左側的0位置或者右側的B位置,就結束遊戲。那麼請問賭徒最終移動到0位置結束遊戲的概率有多大?

每一局遊戲賭徒隨機向左或向右移動一格

每一局遊戲賭徒隨機向左或向右移動一格

求解這個問題並不難:設賭徒有n元時,輸光的概率是P(n)。

賭徒原有資金n和輸光概率P(n)的對應

根據遊戲規則,如果n=0,賭徒輸光離場,概率

P(0)=100%

如果賭徒有了B元,那麼他會心滿意足的離場,就不會再輸了,因此輸光離場的概率

P(B)=0

在每一次遊戲中,賭徒隨機贏或者輸1元錢,即賭徒的錢n有50%的可能變為n+1,也有50%的可能變為n-1,所以:

P(n)=50%P(n+1)+50%P(n-1)

把這個公式兩邊乘以2,再做一個移項,很容易得到:

P(n+1)-P(n)=P(n)-P(n-1)

你會發現:P(n)數列相鄰兩項的差不變,這是一個等差數列!而且它的首項P(0)=100%, 最後一項P(B)=0,它是一個逐漸減小的等差數列,每一項都比它的前一項少1/B.

賭徒目標資金與輸光概率的關係

賭徒目標資金與輸光概率的關係


我們可以畫一個輸光概率P(n)與現在資金量n的關係圖,利用比例關係很容計算當賭徒的資金n=A時,他輸光的概率是

P(A)=1-A/B

即賭徒輸光的概率等於1減去賭徒原有的錢A除以他的目標B。

我們可以對這個結果進行一些討論:假如賭徒有100元,也就是A=100

  • 如果賭徒希望贏錢到120元就退出,此時

    B=120,P=1-100/120=1/6

    這表示賭徒有1/6的概率會輸光;

  • 如果賭徒希望贏錢到200元再退出,此時

    B=200,P=1-100/200=1/2

    這表示賭徒有1/2的概率會輸光;

  • 若賭徒想贏到1000元再退出,此時

    B =1000,P=1-100/1000=9/10

    這表示賭徒有9/10的概率會輸光;

你會發現:賭徒的目標越大,輸光的概率也越大。如果一直賭下去,無論贏了多少錢都不退出呢?此時目標B變為無窮(B=∞),於是輸光的概率

P=1-100/∞=100%

這表示如果一直賭下去,賭徒一定會輸光所有的錢,久賭無贏家!

在賭徒和賭場老闆對賭的過程中 ,即便是一個公平遊戲,由於賭場的資金量遠遠大於賭徒,賭徒幾乎沒有可能把賭場贏到破產,賭徒最終一定是輸光離場。

同樣道理,在炒股時,如果你的目標只是賺到10%, 這是相對容易的。但是如果要賺一倍再走,就有50%的可能達不到目的。如果通過融資融券或者期權期貨的方式,加槓桿到10倍,那麼你將會有極大的概率會輸光所有的錢。

俄羅斯偉大的詩人普希金,寫過一部童話《漁夫和金魚》:漁夫救了一條神奇的金魚,金魚滿足了漁夫的很多願望。但是,漁夫的老婆總是不滿足,最終,金魚拿走了他給予的一切,這對夫婦又回到了最開始生活的破屋子裡。

漁夫與金魚

漁夫與金魚


這個故事告訴我們:

貪婪的人,最終將會一無所有。

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