「拉馬努金復生才能解決」:E₈格與裝球問題

烏克蘭數學家維亞佐夫斯卡獲得2022年菲爾茲獎,獲獎理由是「證明E8給出8維全等球體最密堆積,以及對相關極值問題和傅立葉分析中插值問題的進一步貢獻。」她的獲獎工作可謂是「菲爾茲獎少有的接地氣的成果」——從研究問題本身來說,她所研究的是8維裝球堆積密度最大的問題,我們很容易理解三維空間中的裝球問題;而獲獎理由中所敘述的「格」也並不複雜。本文將用基本的數學知識介紹相關概念,特別是E8格的特殊意義,它又如何與裝球問題聯繫起來。相關研究源遠流長,而現在則是一次直接了解現代數學前沿的絕好機會。

撰文|倪憶(加州理工學院數學系教授)

2022年7月5日,烏克蘭數學家馬林娜·維亞佐夫斯卡(Maryna Viazovska)獲得菲爾茲獎。她獲獎的主要工作是解決了8維空間中的裝球問題:當8維空間中的球按照E8格的方式堆積起來時,裝球密度最大。她還與人合作解決了24維空間中的裝球問題,這時最大密度是以利奇格的堆積方式取得。

維亞佐夫斯卡(圖源:EPFL)

維亞佐夫斯卡(圖源:EPFL)

這一獲獎工作可謂是菲爾茲獎裡少有的接地氣的成果,普通人都能理解她到底證明了什麼。從數學上說,她的獲獎工作再次向世人展示了E8格(以及利奇格)的重要性。那麼,什麼是E8格?它又如何同裝球問題聯繫起來的呢?

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什麼是格?

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格(lattice),是大數學家高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)所定義的一個數學概念。我們拿二維格作為例子來說明格的定義。取一個平行四邊形,將它平行移動,可以得到無數個同樣形狀和大小的平行四邊形,使得它們鋪滿平面。這些平行四邊形的頂點構成的集合就叫作一個二維格

平行四邊形的頂點構成一個二維格

平行四邊形的頂點構成一個二維格

最常見的二維格由平面上所有整點組成,也就是說,這些點在直角座標系裡的橫縱座標都是整數。相應於這一格的平行四邊形就是邊長為1的正方形。我們管這個格叫作正方形格

正方形格

正方形格

如果平行四邊形由兩個邊長為

的等邊三角形拼成,得到的格稱為六邊形格

六邊形格

六邊形格

類似於平面格,在三維空間,我們可以用平行六面體平移堆滿空間,平行六面體的頂點的集合就是一個三維格

當這個平行六面體是正方體時,對應的格叫作簡單立方格。在簡單立方格的基礎上,再添加每個立方體各個面的中心,得到的格叫作面心立方格

在許多晶體中,原子或者分子就是按照格的方式來排列,所以化學家們經常要跟格打交道。例如 α相的固態釙的晶體結構是簡單立方結構,而常見的氯化鈉(食鹽)晶體裡的氯原子是按照面心立方格方式排列。

固態釙的α相結構(圖源:維基百科)

固態釙的α相結構(圖源:維基百科)

固態釙的α相結構(圖源:維基百科)

氯化鈉晶體結構,其中綠色大球表示氯原子(圖源:維基百科)

不過,晶體學中所說的lattice跟我們這裡的格不完全一樣,例如晶體學中常見的密排六方晶格就不是我們所說的格。我們所說的格,在晶體學中被稱為Bravais lattice。

高維空間中的格可以類似地定義。不過,為了敘述的簡潔,我們採用線性代數的語言。

如果讀者學過線性代數,應該知道n維歐氏空間

可以看作一個向量空間,或者說線性空間。這個向量空間的一組就是n個向量

使得向量空間中任何一個向量可以用唯一的方式表示為這n個向量的實係數線性組合,即

的形式,其中每一個係數ki都是實數。

現在給定一組基,如果我們限定上式中的係數ki都是整數,那麼這樣得到的所有向量的集合就叫作一個。格中的向量(也可看作空間中的點)則稱為格點

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獨一無二的E8

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我們要談到的E8格是一個非常特殊的8維格。為了說明它為什麼特殊,我們需要一些進一步的關於格的概念。

線上性代數里,兩個向量

內積是一個數

如果一個格中任何兩個向量的內積都是整數,那麼這個格就被稱為整格。在這個定義裡,當兩個向量是同一個向量時,它們的內積就是向量長度的平方。所以整格中任何一個向量長度的平方都是整數。換句話說,整格中任兩個格點之間距離的平方都是整數。

在平面上,整格也可以用相關的平行四邊形的幾何來定義:如果平行四邊形每條邊長度的平方都是整數,並且兩條對角線長度的平方差是4的整數倍,那麼這個格就叫作整格

讀者可以驗證前面提到的正方形格和六邊形格都是整格

在一個整格中,如果每個向量的長度的平方都是偶數,那麼這個格叫作偶格。在二維格里,前述條件等價於要求平行四邊形每條邊長度的平方都是偶數。正方形格邊長的平方是1,所以正方形格不是偶格。六邊形格邊長的平方是2,所以六邊形格是偶格。

在格定義中,作為基的這組向量

構成一個方陣

如果這個方陣的行列式是±1,這個格就叫作一個么模格

在二維的時候,上面這個方陣的行列式的絕對值就是相應平行四邊形的面積;在三維時,行列式的絕對值是相應平行六面體的體積

正方形格對應的正方形面積是1,所以正方形格是么模格。六邊形格對應的菱形的面積是√3,所以六邊形格不是么模格。

總結一下,正方形格是么模格,但不是偶格;六邊形格是偶格,但不是么模格。那麼,平面上有沒有一個整格,既是偶格又是么模格呢?

不難證明,這樣的平面格不存在。事實上,假設平行四邊形兩組對邊的長度的平方分別是a和b,兩條對角線的長度的平方差是4d,那麼平行四邊形的面積就是

。如果這個格是么模格,那麼

如果這個格還是偶格,那麼a和b都是偶數,這樣d2=ab-1被4除的餘數是-1,跟d是整數矛盾。

平面上沒有么模偶格,在高維有嗎?我們可以考察三維、四維…… 要一直到八維才會出現第一個么模偶格,這就是E8

E8格可以這樣定義:它由

裡滿足如下兩個條件的點組成:第一個條件是,全部8個座標的和是偶數;第二個條件是,所有座標要麼都是整數,要麼都是半整數(即某個奇數的一半)。

例如

在這個格中。但

不在格中,因為全部座標的和是3,不是偶數;

也不在格中,因為座標裡既有整數,又有半整數。

對於E8格,可以取這樣一組基:

格,可以取這樣一組基

這組基的特點是,每個向量長度的平方都是2,並且兩兩之間的內積可以用如下的圖來表示:

上圖裡,如果兩個頂點之間連有一條邊,那麼對應的兩個向量的內積就是-1,否則兩個向量的內積是0。這個圖在李代數的根系分類中記作E8,所以相應的格稱為E8格。

可以證明,么模偶格的維數一定是8的倍數。所以只是在8、16、24、32…這些維數才有么模偶格。事實上,在8維時,E8在同構意義下是唯一的么模偶格

另外一個著名的么模偶格是24維的利奇格(Leech Lattice)。康威(John Horton Conway,1937-2020)曾經在研究利奇格的對稱群時發現了3個散在單群。

E8格是數學裡非常重要的一個對象,它頻繁出現在群論、李代數、拓撲、模形式、弦理論等數學和物理領域中,編碼理論中的漢明碼(Hamming code)也跟E8格有關。

1962年,米爾諾(John Milnor)因為發現七維球面上的「怪異」微分結構而獲得菲爾茲獎。利用E8可以構造出七維球面上的全部28個不同的微分結構。

1983年,弗裡德曼(Michael Freedman)因證明四維龐加萊猜想而獲得菲爾茲獎。弗裡德曼實際上完成了單連通四維閉流形的拓撲分類。他的結果的一個推論就是,存在沒有微分結構的四維流形。這個流形的構造就利用了E8

不過,儘管好幾位菲爾茲獎得主的獲獎工作都與E8有關,今年E8還是第一次直接出現在菲爾茲獎獲獎工作中。這次E8大顯身手的舞臺是裝球問題。

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開普勒猜想

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裝球問題(sphere packing problem)是一個來源於日常生活的問題:把同樣大小的球堆積起來,怎麼樣才能使得密度最大?一種自然的堆積方式是,先把球鋪排一層,使得每個球周圍恰好有六個球與之相切。然後在適當的空隙上方再放置一層球,在適當的空隙下方也可以放置一層球。依此類推,鋪至整個空間。容易算出,這種方法得到的堆積密度是

著名天文學家開普勒(Johannes Kepler,1571-1630)在1611年的一篇文章中猜測,這樣堆積的密度是最大的。這就是開普勒猜想

裝球問題起源於對堆積加農炮彈的研究,圖中所示的堆積方式便達到了最大密度(圖源:維基百科)

動手試一下,就會發現,實現這一密度的堆積方法有很多種。在下圖裡,圓圈表示放好的一層球。接下來的一層球如何放有兩種選擇:既可以放到紅點所在空隙的上方,也可以放到藍點所在空隙的上方。同樣地,放好這一層後,再接下來一層又有兩種選擇。以此類推,可以看出,能取得最大密度的堆積方式有無窮多種。

可以說,每一個賣橘子的商販都知道這種堆積能取得最大密度,但這一事實的證明卻花了人類四百多年時間。

裝球問題的困難在於,在一個小範圍裡可以有一種裝球方式,使得這個小範圍裡的堆積密度大於

。可一旦你想把這種裝球方式擴充到整個空間,堆積密度必然會小於

。所以裝球問題不可能用簡單的局部分析來解決。

所以裝球問題不可能用簡單的局部分析來解決。

紅色小球周圍均勻放置了12個藍色小球與之相切(圖源:維基百科)

我們可以看一個例子。在達到最大堆積密度的裝球方式裡,每個球周圍恰好有12個球跟它相切。但是,這12個球並沒有以最均勻的方式分佈。上圖是另外一種在(紅色)小球周圍放置12個與之相切的(藍色)小球的方式,藍球的球心構成正十二面體十二個面的中心。跟達到最大堆積密度的堆積方式相比,這種堆積方式的12個球分佈得更均勻,局部上有著更高的對稱性。可以算出,紅球附近的堆積密度是0.7546···,比

···略大。但是,你沒法把這一堆積方式擴充到整個空間,使得每個小球周圍都有這麼12個均勻分佈的小球!所以0.7546···這一密度在整個空間中是不能實現的。

有同學會問了:「都是跟12個小球相切,為什麼分佈越均勻局部密度越大?」可以這麼想:假設有四條彪形大漢,從東南西北四個方向圍著你,是不是壓迫感十足?現在如果這四條大漢跟你的距離不變,但改成半包圍形勢,留出一個方向讓你跑路,是不是壓迫感沒那麼強了?這就是為什麼分佈越均勻,局部密度就越大。當然,局部密度在數學上有嚴格定義,我們就不在這裡給出了。

1831年,高斯證明了,‍‍‍‍‍‍‍如果把球按照格的方式堆積起來,那麼最大密度是

‍‍‍‍‍‍‍。但這離開普勒猜想的解決還差得很遠,因為達成最大密度的堆積完全可以不是格的方式。事實上,在無窮多種密度達到

的堆積中,只有一種堆積的球心構成格。這個格就是前面提到的面心立方格。(密排六方晶格同樣達到最大密度,但這不是我們所說的格。)

匈牙利數學家拉斯洛‧費耶斯‧托特(László Fejes Tóth,1915-2005)在1953年提出了一個方法,只需要進行有限多次計算就能夠驗證開普勒猜想。但這個計算量非常大,以當時計算機的能力根本無法完成。1998年,美國數學家黑爾斯(Thomas Hales)使用費耶斯‧托特的方法,在計算機輔助下給出了開普勒猜想的一個證明。他將開普勒猜想劃分為大約十萬個線性規劃問題,每個問題有200個左右的變數,1000個左右的限制條件,可以用計算機解答。他的論文有270頁,此外還有3 GB的資料,以及超過四萬行計算機程序。很顯然,這樣的證明不是人類所能夠檢驗的。

黑爾斯將他的論文投到了《數學年刊》,拉斯洛‧費耶斯‧托特的兒子加博爾‧費耶斯‧托特(Gábor Fejes Tóth)率領的一個12人團隊負責審核論文。經過四年的艱苦工作,加博爾‧費耶斯‧托特的團隊報告說他們有99%的把握認為證明是對的,但他們無法確認所有計算的正確性。最終,《數學年刊》發表了黑爾斯原始論文的數學理論部分,有120頁。其餘偏重計算的部分則分成若干篇論文發表在《離散計算幾何》雜誌上。這種做法對於《數學年刊》這樣的頂級雜誌來說是相當不尋常的。

儘管黑爾斯的論文已經發表在權威雜誌上,數學界仍然有很多人對其證明抱持著懷疑態度。於是黑爾斯又花了十幾年時間,率領團隊在2014年給出了一個「形式化證明」(formal proof)。也就是說,這個證明可以由計算機讀取,並用現成的證明輔助軟體來自動檢驗每一步邏輯推理是否正確。介紹這一形式化證明的論文於2017年發表在《數學論壇 Pi》上,算是終結了對開普勒猜想證明正確性的質疑。

雖說開普勒猜想已經得到了證明,但這個證明並不是大部分數學家想要的。黑爾斯的證明需要用計算機作海量的計算,檢驗證明也需要用計算機。雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi,1804-1851)曾說過:「科學的唯一目的是為了人類心智的榮耀。」如果人類的心智永遠不能理解這個證明,又談何榮耀呢?

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8維和24維的突破

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開普勒猜想研究的是三維空間裡的裝球問題。在任意維數的空間中,也可以提出類似的裝球問題,即同樣大小的球堆積起來何時密度最大。這裡一個「球」就是空間中到一個固定點(即「球心」)的距離不超過一個固定長度(即「半徑」)的點的集合。例如直線上的一維「球」就是一條線段,平面上的二維「球」就是一個圓盤。

一維的裝球問題是平凡的:最大密度是1,我們只需要把線段一個個接起來就能填滿直線。

二維的裝球問題比較初等,很容易想到,當圓盤的中心組成一個六邊形格時,密度最大。這一事實的第一個證明是挪威數學家圖厄(Axel Thue,1863-1922)在1890年給出的。

平面上的最密堆積

平面上的最密堆積

在2016年之前,1、2、3這三個維數是裝球問題得到完全解決的僅有的三個維數。

在二維和三維,密度最大的堆積很容易猜出來,儘管證明並不容易。到了高維空間中,密度最大的堆積通常很難猜出來。但是,8維和24維這兩個維數比較特殊。在這兩個維數存在著E8格和利奇格這兩個高度對稱的格,人們很自然地會猜測,當球心組成E8格或者利奇格時,堆積密度最大。

2003年,微軟研究院的科恩(Henry Cohn)和哈佛大學的埃爾基斯(Noam Elkies)發展了一種新方法來估計高維空間中最大的堆積密度。他們的方法需要用到一個輔助函數f(x),使得f(x)與它的傅立葉變換

滿足一定的條件。這時最大堆積密度的上限就能用

給出。使用這種方法,科恩和他的合作者證明了8維空間中最大堆積密度不超過E8格堆積密度的1+10-14倍,而24維空間中最大堆積密度不超過利奇格堆積密度的1+1.65×10-30倍。這已經非常接近於證明E8格和利奇格的堆積密度最大了,但還不是證明。

要用他們的方法解決8維空間的裝球問題,所尋找的輔助函數f(x),應該滿足

構造輔助函數的一大困難是,要想同時控制f(x)與它的傅立葉變換

並不容易。這一事實在物理上的表現就是海森堡(Werner Heisenberg,1901-1976)的不確定性原理。科恩和埃爾基斯曾經向許多數學家宣傳過他們的工作,期望他們需要的輔助函數已經悄悄地存在於世界的某一角落。但他們和其餘所有頂尖專家花了十幾年時間都沒能找到合適的輔助函數。黑爾斯認為這一輔助函數是存在的,但是「需要拉馬努金復生才能找到它。」(注:黑爾斯所說的原文為I felt that it would take a Ramanujan to find it,並未明顯包含「復生」之意。)

拉馬努金(Srinivasa Ramanujan,1887-1920)是一位自學成才的印度數學家。他憑直覺寫下了大量複雜而優美的數學公式,卻無法解釋它們的來歷,而將其歸結於神啟。

維亞佐夫斯卡不是拉馬努金,更沒有得到神啟。她花了兩年時間,利用數論裡的模形式,為E8構造出了正確的輔助函數。她的論證沒有用到非常抽象的現代數學知識,而是展示出了高超的數學技巧。毫不誇張地說,十九世紀的那些數學大師們就可以理解並欣賞她的工作。

她的構造,建立在兩位跟拉馬努金同等級別,但遠沒有那麼出名的數學天才的工作基礎之上,並加上了她自己的獨特貢獻。

這裡所說的第一位天才是德國數學家艾森斯坦(Gotthold Eisenstein,1823-1852),他是高斯最鍾愛的弟子。高斯曾經在一封給亞歷山大·馮·洪堡(Alexander von Humboldt,1769-1859)的信中稱讚艾森斯坦是一個世紀中只出現幾位的天才。據高斯另外一位學生莫里茲·康托爾(Moritz Cantor,1829-1920)的記載,高斯甚至說過:「只有三位超越時代的數學家,那就是阿基米德、牛頓、和艾森斯坦。」這些言論或許不無誇大之處,但艾森斯坦在他的短暫一生中無疑取得了令人矚目的成就,這一點很像拉馬努金。

艾森斯坦最重要的工作是提出了艾森斯坦級數。這是一種形如

的函數。艾森斯坦級數是數論裡模形式的重要例子。

第二位天才同樣是一位德國數學家,就是雅可比,前面引用過他的名言。雅可比是歷史上計算能力最出色的數學家之一,著名數學史家貝爾(Eric Temple Bell,1883-1960)在《數學精英》一書中把他稱為「偉大的算學家」。哈代(Godfrey Harold Hardy,1877-1947)認為,拉馬努金對代數公式和無窮級數的直覺,歷史上只有歐拉(Leonhard Euler,1707-1783)和雅可比才能與之相比。可見雅可比在這方面的能力是多麼的傑出。

雅可比定義了四個雅可比θ函數,並且證明了關於它們的一系列恆等式。最基本的一個θ函數是

維亞佐夫斯卡本人的重要貢獻是定義了一個新的積分變換。所謂積分變換,就是從一個函數出發,通過積分得到一個新的函數。著名的積分變換有傅立葉變換和拉普拉斯變換。維亞佐夫斯卡從最初幾個艾森斯坦級數E2, E4, E6出發,經過簡單的加減乘除,再用上她新定義的積分變換,得到了一個函數a(x),其傅立葉變換就是它本身。用類似方法,從三個雅可比θ函數出發,能得到一個函數b(x),其傅立葉變換是它的相反函數-b(x)。最終的輔助函數則是a(x)和b(x)適當的線性組合。

維亞佐夫斯卡解決8維裝球問題的論文於2016年3月在網上發表,只有24頁。在她把論文放上網的當天晚上,科恩就給她發信祝賀,並問能否把這一方法推廣到維空間。他們兩人與另外三位數學家合作,在7天后發佈了一篇12頁的論文,證明了利奇格的堆積在24維空間中是密度最大的。這一團隊後來又寫了一篇100頁的論文,證明E8格和利奇格具有「泛最優性」。也就是說,如果把無窮多個互斥的粒子放到8維或24維空間中,使得它們之間的斥力滿足一定條件,那麼E8格或利奇格就是能量最低的擺放方式

迄今為止,裝球問題只在1、2、3、8、24這五個維數得到解決,而泛最優性只在1、8、24這三個維數得到解決。為什麼8維比4、5、6、7維更容易?即便這一領域的專家們也難以給出一個滿意的回答。這其中或許有著非常深刻的原因。

有人會問:「我們生活的空間就是三維的。研究二維和三維的裝球問題還可以說有現實意義,研究高維的幹什麼?」事實上,人們研究裝球問題並不完全出於數學上的興趣。三維空間的裝球問題跟材料科學密切相關,高維的裝球問題則在通訊和編碼理論中起到重要的作用。

從數學上說,裝球問題不是一個孤立的問題,它跟數論、調和分析、線性規劃等許多數學分支都有聯繫。在研究這一問題中發展出來的方法,可以被運用到別的數學領域。從這一意義來說,裝球問題就像一隻下金蛋的鵝。維亞佐夫斯卡所發展的方法,正是這隻鵝下的諸多金蛋之一。菲爾茲獎的表彰,一定程度上是對金蛋成色的肯定吧。

本文經授權轉載自微信公眾號:返樸 作者:倪憶

轉載內容僅代表作者觀點

不代表中科院高能所立場

編輯:photon

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