Lorenz規範簡史

|作者:盧昌海

本文選自《物理》2021年第6期

不知有沒有讀者看到本文標題會閃出一個念頭:「Lorenz」 (姑以「洛倫茨」為中譯)拼錯了,應為「Lorentz」 (姑以「洛倫茲」為中譯)?本文要談的正是這「Lorenz」和「Lorentz」之辨。

芝加哥大學的統計學教授史蒂芬·史蒂格勒 (Stephen Stigler) 曾提出過一個所謂的斯蒂格勒定律 (Stigler’s law),宣稱科學發現或科學定律都不是以原始發現者命名的。這當然不是真正的定律,且「都不是」也過於武斷,但可舉的例子確實很多,本文可算其中之一,甚至連斯蒂格勒定律自身亦是例子——這個1980年提出的「定律」不僅有若干大同小異的版本和名稱,且起碼可回溯至美國作家馬克·吐溫 (Mark Twain) 1)

芝加哥大學統計學教授史蒂芬·斯蒂格勒(Stephen M. Stigler,1941— )。圖片來源:stat.uchicago.edu

本文不僅在具體內容上可算作斯蒂格勒定律的例子,且還在另一個方面暗合斯蒂格勒定律,那便是:本文的作者雖然是我,撰寫的念頭卻是友人引發而非我自己萌生的。8年多前,一位友人在我主頁的「繁星客棧」論壇上發帖說「Lorenz規範」被許多人錯成了「Lorentz規範」。我吃了一驚 (因為我也是「許多人」之一) ,隨手在書架上核驗了幾本物理教材,結果發現幾位很著名的作者亦在「許多人」之列,於是覺得這是個可以一寫的話題。

至於為什麼拖到現在才寫,則沒什麼特殊理由,也許只是因為一直有別的東西要寫。所謂「可以一寫的題材」,有時就像「虛粒子」,只有遇到適當的機緣才會變成「實粒子」。直到今年,約稿終於寫累了,推掉了不少,在多出的「散漫」時間裡,才重又想起這一話題。

讓我仍從核驗開始吧——當然,是重新核驗過,且擴大了核驗範圍。為「自給自足」起見,雖假定本文的讀者已有電動力學基礎 (我向來是不憚以最高的門檻來要求讀者的),在羅列核驗結果前,還是先說明一下,所謂「Lorenz規範」或 (被錯成的) 「Lorentz規範」,指的是電磁勢所滿足的規範條件:

為表述便利起見,本文一律採用現代記號及c=1的單位制,φA分別是電磁勢的標量勢和向量勢。在我核驗過的物理教材中,這一條件被稱為「Lorenz規範」和「Lorentz規範」的可分別舉出以下例子:

被稱為「Lorenz規範」的

(1)J. D. Jackson. Classical Electrodynamics (John Wiley & Sons,Inc.,3rd Ed.,1999);

(2)A. Zangwill. Modern Electrodynamics(Cambridge University Press,2012)。

被稱為「Lorentz規範」的

(1)W. K. H. Panofsky,M. Phillips.Classical Electricity and Magnetism(Addison Wesley,2nd Ed.,1962);

(2)L. D. Landau,E. M. Lifshitz. The Classical Theory of Fields (Pergamon Press,4th Ed.,1975);

(3)C. Itzykson, J. Zuber. Quantum Field Theory (McGraw-Hill Inc.,1980);

(4)R. P. Feynman et al. The Feynman LecturesOn Physics vol. II (Addison Wesley, Commemorative Ed.,1989);

(5)M. E. Peskin,D. V. Schroeder. An Introduction To Quantum Field Theory(Perseus Books Publishing,L.L.C.,1995);

(6)S. Weinberg. The Quantum Theory of Fields,vol. I (Cambridge University Press,1995);

(7)W. Greiner. Classical Electro-dynamics (Springer,1998)。

這兩組例子當然都不是「窮舉」,但第一組是費了好大勁才總算找到兩個例子,第二組則是丟棄了許多不夠著名的例子。依據這一經驗,可以較有把握地說,在當今的物理教材中,將「Lorenz規範」錯成「Lorentz規範」的乃是大多數。

不過,有道是術業有專攻,物理教材雖大都弄錯了,但在物理學史的領地裡,情況則明晰得多,有不少資料對Lorenz規範的來龍去脈作過研究和辨析。下面我們就以那些資料為基礎,來談談Lorenz規範的簡史——包括它被錯成Lorentz規範的可能緣由。

丹麥物理學家路德維希·洛倫茨(Ludvig Valentin Lorenz 1829-1891),很多人會把他與荷蘭物理學家洛倫茲(Hendrik Lorentz)以及美國數學與氣象學家羅倫茨(Edward Lorenz)搞混。圖片來源:The Royal Library: The National Library of Denmark and Copenhagen University Library

Lorenz規範在文獻中的最早出現是1867年,出現在丹麥物理學家路德維希·洛倫茨(Ludvig Lorenz)的一篇題為「論光的振動與電流的同一性」 (On the Identity of the Vibrations of Light with Electric Currents) 的論文中 (這篇論文的丹麥原文及德、英譯文皆發表於1867年) 。洛倫茨那篇論文發表的時候,電磁向量勢A問世才不過20年左右,英國物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋 (James Clerk Maxwell) 提出後來以他名字命名的電磁場方程組及光的電磁理論才不過數年,後來被拋棄的以太 (aether) 仍是流行概念。電磁理論的許多詮釋性細節仍充滿迷霧,規範變換和規範條件的概念尚未得到明晰表述 (因此本文對很多概念的稱呼——包括「Lorenz規範」、「規範條件」等——乃是套用後世術語) ,當時流行的規範條件則是如今被稱為庫倫 (Coulomb) 規範的 ∇·A=0。

文獻中最早出現Lorenz規範的論文 圖片來源於參考文獻[5]

在這樣的背景下,洛倫茨的論文有一些相當敏銳的見解。

比如,洛倫茨在論文的開篇就提到,「我們時代的科學」已成功顯示了電、磁、光、熱及分子運動之間的聯繫。由此他認為,「從某種意義上講,我們必然被引導到視它們為同一種力的表象上」。另一方面,洛倫茨注意到,當時很多人視電為流體,視光為以太的振動,視熱為分子的運動,這些相互獨立的假設跟「視它們為同一種力的表象」的統一觀念是格格不入的。不僅如此,洛倫茨還很正確地指出了以太假設的諸多堪稱缺陷的奇怪性質,比如在以太中只有橫波沒有縱波,比如以太有超高的應力卻沒有可察覺的重量2)。這些見解對現代讀者——尤其本文的讀者——來說想必是熟悉的,在當時卻不僅敏銳,而且卓越。

在這種見解之下,洛倫茨提出了一種關於光的新理論,認為「光的振動本身就是電流」。這種理論可惜是錯誤的,而且錯得有些莫名其妙,因為他替這種理論構建的數學框架其實是正確的,卻莫名其妙地引申出了並非邏輯推論的「光的振動乃是電流」的錯誤詮釋。具體地說,洛倫茨發現,在Lorenz規範下,電磁標量勢φ與向量勢A都滿足波動方程,源分別為電荷密度與電流密度,解是推遲勢,所對應的波速則與當時所知的光速很接近。這些發現都是正確的,並且標誌著Lorenz規範及同時包含φA的推遲勢在文獻中的首次出現。至於「光的振動本身就是電流」,由於並不是這些發現的邏輯推論,故而雖可惋惜,亦有些莫名其妙,卻無損定量部分的正確性。

那麼,洛倫茨的大名為什麼沒有跟他提出的規範條件聯繫在一起,「Lorenz規範」為什麼被後世的大多數物理教材錯成了「Lorentz規範」呢?從對文獻的閱讀和思考中可以歸納出一些可能的原因。

首先是電磁理論的「大宗師」麥克斯韋對洛倫茨的理論提出了異議。在1868年 (即洛倫茨上述論文問世的次年) 發表的一篇題為「論一種對靜電力與電磁力進行直接比較的方法」 (On a Method of Making a Direct Comparison of Electrostatic with Electromagnetic Force) 的論文中,麥克斯韋寫了一個很長的評註,對洛倫茨的推遲勢提出了異議。麥克斯韋的異議本質上是這樣的:考慮兩個異種,故而彼此吸引的電荷A B,以長度為L的剛性杆相連結,沿AB 方向運動。若兩者的相互作用由推遲勢描述,那麼A B 的吸引力源自A 的某個先前時刻的位置,與B的距離大於L (因A沿AB方向運動,故先前時刻與B 的距離大於當前時刻的距離L) ,而BA的吸引力源自B的某個先前時刻的位置,與A的距離小於L (因B沿AB方向運動,故先前時刻與A的距離小於當前時刻的距離L) 。因此BA的吸引力大於AB的吸引力 (因前者對應的距離小於後者的)。這不僅違反了作用力等於反作用力的定律,而且會使這兩個剛性連結的電荷不斷沿AB方向加速,違反能量守恆。

麥克斯韋雖是電磁理論的「大宗師」,這條異議卻是錯誤的 (因為推遲勢其實是正確的——雖然對電磁勢來說並非唯一解)。至於具體錯在哪裡,不妨留給讀者作為思考題,加深對電動力學的理解。

不過麥克斯韋的錯誤如今雖是學過電動力學的普通讀者都有希望糾正,在當時——尤其是狹義相對論問世之前——卻絕非顯而易見,也很可能並非洛倫茨所能回答。事實上,洛倫茨在1867年論文的末尾雖曾樂觀地宣稱他的理論將會「引導我們往發展統一力思想的方向邁進一步,並且開啟一個未來研究的新領域」,自那以後卻再也沒有回到同一課題上來 (是否跟麥克斯韋的異議有關則不得而知) ,這種「自我放棄」被認為是他的大名沒有跟他提出的規範條件聯繫在一起的另一條原因。

此外,我們也不能忽略洛倫茨所提出的「光的振動本身就是電流」是一個錯誤理論這一事實。這個錯誤理論——如前所述——雖無損定量部分的正確性,卻跟當時流行的以太假設格格不入,在很大程度上是以電流取代以太。雖然以太假設也是錯誤理論,但以電流取代以太乃是以錯易錯,並不比以太假設更經得住推敲 (比如要假設光可以傳播的所有地方——包括虛空——都存在電流) ,這難免也會降低論文的影響力。

上述幾條可以算洛倫茨這一方的原因。除這幾條外,進一步的原因就得從「Lorenz」和「Lorentz」之辨的另一方——荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲 (Hendrik Lorentz) ——入手了。

洛倫茲生於1853年,比洛倫茨小24歲,這兩人不僅姓氏相近,研究領域也有很大的重疊——都在電磁理論和光學等領域深有造詣。更巧合的是,兩人甚至在具體課題上也屢屢「撞車」。比如兩人都研究過金屬的導電率與導熱率的關係,比如兩人都研究過光學介質的折射率——這也許是最著名的「撞車」,導致了所謂的「洛倫茲-洛倫茨方程」(Lorentz-Lorenze quation) 。對規範條件的研究也是「撞車」之一。

洛倫茲(Hendrik A. Lorentz 1853—1928)。圖片來源於Nobelprize.org

自1892年開始 (那時洛倫茨已經去世),在有關電磁理論的若干文章中,洛倫茲引進了推遲勢,但沒有明確提到Lorenz規範。1904年,在為德國《數學科學百科全書》(Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften) 撰寫的關於麥克斯韋理論的「詞條」 (這套令人高山仰止的百科全書的「詞條」往往有圖書的篇幅,其中很多都堪稱名著) 中,洛倫茲首次給出了Lorenz規範 (作為讓電磁勢滿足波動方程的條件)。以時間而論,這比洛倫茨晚了37年,但洛倫茲的「詞條」有一個優越之處,那就是對電磁勢所具有的任意性——也就是其所允許的規範變換——作了初步表述。這一表述在1909年初版的名著《電子論》(Theory of Electrons) 一書中變得更為明晰。

德國《數學科學百科全書》(Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften)。

圖片來源:ebay

由於洛倫茲的電磁理論研究,尤其是他的電子論,在一定程度上代表了經典電動力學的巔峰3),也由於德國《數學科學百科全書》及名著《電子論》的影響皆遠非洛倫茨的論文可比,更由於被洛倫茲所明晰表述的規範變換的概念在現代物理中有著極大的重要性,再加上洛倫茲本人作為物理學家的聲望遠遠超過洛倫茨,以及前面提到的洛倫茨那一方的幾條原因,自1900年開始,就陸續有綜述性的文章,先是將推遲勢,後又將Lorenz規範歸於了洛倫茲。將「Lorenz規範」錯成「Lorentz規範」在物理學史以外的領域裡,也就逐漸變成「大勢所趨」了。

除上面這些因素外,將「Lorenz規範」錯成「Lorentz規範」還有一個不那麼「錯」的因素,那就是洛倫茲是狹義相對論的先驅人物之一,是狹義相對論的座標變換——即所謂「Lorentz變換」——的「冠名者」,而「Lorenz規範」恰好在「Lorentz變換」下是不變的,或者說是一種Lorentz不變的規範,它被稱為「Lorentz規範」從這個意義上講倒是有一定貼切性的4)

關於「Lorenz規範」錯成「Lorentz規範」之事,還有一點可小議幾句,那就是洛倫茲是否知道洛倫茨提出過Lorenz規範?在上文提到的洛倫茲有關Lorenz規範的所有文章或專著中,都不曾提及洛倫茨在同一課題上的工作,這是否是有意忽略?這些問題的答案在我看來是否定的。首先是因為洛倫茲的人格有很高的公信力——包括愛因斯坦在內的同時代的物理學家對洛倫茲的人格都作過很高的評價,別說Lorenz規範相對於洛倫茲的其他成就毫不足道,哪怕在重要得多的工作上,洛倫茲也從未在優先權上耍過心機。其次,也不乏具體例證:在《電子論》一書中,在介紹自己的光學介質折射率研究(即如今稱之為「洛倫茲-洛倫茨方程」的研究)時,洛倫茲明確引述了洛倫茨的工作,而且雖然兩人在這一課題上的兩篇重要論文都發表於1880年,洛倫茲卻光明磊落地指出了洛倫茨的工作在他之前 (哪怕在優先權上稍有心機也可只強調「幾乎同時」或「彼此獨立」) 。有鑑於此,洛倫茲不曾提及洛倫茨在Lorenz規範方面的工作,應該是確實沒有注意到後者——跟「洛倫茲-洛倫茨方程」的兩篇重要論文都發表於1880年,從而很容易被注意到不同,洛倫茲提出Lorenz規範比洛倫茨晚了37年,後者的研究因上文所述的幾條「洛倫茨這一方的原因」,本身已近於湮滅。

以上就是Lorenz規範的簡史。這段簡史有一定的勘正性質——將「Lorentz規範」勘正回「Lorenz規範」 (雖然這所謂「勘正」只是意在勘正史實,倒並非真覺得有必要修改物理教材裡的命名——因為如前所述,後者畢竟有一個不那麼「錯」的因素) 。既然如此,那麼不妨對「勘正」之「正」方那位幾乎已被忘卻的洛倫茨的生平也略作一些介紹。

洛倫茨出生於1829年1月18日,13歲那年因聽了丹麥自然科學傳播學會 (Society for the Dissemination of Natural Science) 主辦的一個物理講座而對數學和物理產生了興趣。但洛倫茨通往數學和物理的路途並不平坦,大學的所學偏於工程,畢業時的專業乃是化學 (洛倫茨的生平文獻很少,我試圖找尋他大學專業背後的緣由,卻未能如願) 。直到1858年,洛倫茨才在法國巴黎圓了進修理論物理之夢。1866年,洛倫茨被選為了丹麥皇家科學院 (Royal Danish Academy for Sciences and Letters) 的會員。但這貌似順意的進展卻未能讓他謀到大學職位,而不得不將未來21年耗在了哥本哈根郊外的一所軍事高中。1887年,年近花甲的洛倫茨終於得到一筆資助,可以從事獨立研究,但短短4年後的1891年6月9日,他就因心臟病發作去世了。

洛倫茨的一生基本處於孤立之中,雖然同時代的若干重量級物理學家比如麥克斯韋、路德維希·玻爾茲曼 (Ludwig Boltzmann) 、海因里希·赫茲 (Heinrich Hertz) 等都一度注意到過他的工作,但他很少與其他物理學家通訊,也不常旅行。在那樣的孤立之中,洛倫茨依然完成了數量與質量都不無可觀的研究,除上文已提到的「洛倫茲-洛倫茨方程」及不幸被普遍錯成「Lorentz規範」的「Lorenz規範」外,單是掛了他名字的工作就還有關於金屬導電率與導熱率關係的「維德曼–夫蘭茲-洛倫茨定律」 (Wiedemann–Franz–Lorenz law)5),以及關於電磁波在均勻介質球上散射的「洛倫茨-米解」 (Lorenz-Mie solution) 。但儘管這些名稱在一定程度上有所流傳,洛倫茨被物理學界遺忘的速度依然很快,用我們前面所舉僅有的兩本未將「Lorenz規範」錯成「Lorentz規範」的物理教材之一, Modern Electrodynamics (《現代電動力學》)的作者安德魯·贊格威爾( Andrew Zangwill) 的話說,「洛倫茨的工作被遺忘得如此之快是令人困惑的」。希望這篇短文能在中文讀者中喚起一些對這位「非著名科學家」的了解6)

黎曼(Bernhard Riemann 1826-1866) | 圖片來源:Wikimedia

本文到這裡就基本結束了,最後讓我們跟開篇引述過的斯蒂格勒定律再作一次呼應:如果我們將「Lorentz規範」勘正回「Lorenz規範」 (如前所述,這其實並非本文的意圖) ,這一規範的命名是否就不再符合斯蒂格勒定律了呢?答案居然仍是否定的——起碼仍不是沒有置喙餘地的。事實上,德國數學大師伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann) 早在1861年 (即比洛倫茨還早6年) 就在一份講義中引入了同樣的規範條件,只不過直到他去世後的1875年才被人整理發表 (因此發表時間晚於洛倫茨) 。不僅如此,洛倫茨所得到的推遲勢的標量勢部分也早在1858年 (即比洛倫茨早了9年) 就被黎曼在一次口頭報告中提到了,只不過也直到他去世後的1867年才被人整理發表 (且恰好跟洛倫茨的論文發表在同一刊物上,以頁碼順序而論則稍晚,前文提到的麥克斯韋對洛倫茨理論——主要是推遲勢的異議,其實也同時提到並針對了黎曼) 。看來像黎曼那樣的數學大師,哪怕偶爾涉獵一下物理也是非同小可的7) 。這算是Lorenz規範簡史的花絮吧。

註釋

1. 所謂「大同小異的版本和名稱」的例子包括「科學史第零定理」(zeroth theorem of the history of science)和「阿諾德原則」(Arnold principle)。至於馬克·吐溫,他曾在1903年給美國盲人社會活動家海倫·凱勒(Helen Keller)的一封信裡表示,所有重大發明的榮譽其實都落在了後人身上而忘卻了前人。

2. 對洛倫茨這些見解的某些表述綜合了他1867年發表的另一篇文章,題為「論光」(On Light)。那篇文章是科普,直到2018年才被丹麥科學史學家黑爾格·克拉(Helge Kragh)譯成英文。說到這篇科普,順便提一下,其中有一句話在我看來達到了極高的科普水準。那是對可見光的頻率之高所作的形容(目的是凸顯以太假設的缺陷——因為如此高頻的橫波需要超高的應力):「光線在一秒鐘之內傳輸到眼睛的振動數目需要幾百萬年才能數清。」

3. 不過這巔峰同時也是沒落的邊緣——可參閱拙作「質量的起源」的第4節。:https://www.changhai.org/articles/science/physics/origin_of_mass/1.php#sect4。

4. 當然,規範條件有很多種,Lorentz不變的也不止一種,但Lorenz規範在所有Lorentz不變的規範條件中可算是最常用或最重要的。

5. 不幸的是,「維德曼–夫蘭茲-洛倫茨定律」常被簡稱為「維德曼–夫蘭茲定律」,只有其中的一個比例係數總算被普遍稱為「洛倫茨係數」(Lorenz number)。

6. 撰寫本文時,我不止一次想起了拙作《從奇點到蟲洞》的附錄「Raychaudhuri小傳」裡介紹過的另一位「非著名科學家」:阿莫爾·雷查德利(Amal Raychaudhuri)。也許「非著名」,但沒有「非著名」到不值一提的科學家的經歷多少有些共性吧。

7. 這一點的另一個例子自然是希爾伯特,可參閱拙作「希爾伯特與廣義相對論場方程」,《物理》,2020,49(2):110。

參考文獻

[1] Darrigol O. Electrodynamics fromAmpère to Einstein. Oxford University Press,2000

[2] Jackson J D,Okun L B. Historical Roots of Gauge Invariance. Rev. Mod. Phys.,2001,73:663

[3] Kragh H. Ludvig Lorenz,Electromagnetism,and the Theory of Telephone Currents. 2016,arXiv:1606. 00205

[4] Kragh H. Ludvig Lorenz (1867) on Light and Electricity. 2018,arXiv:1803.06371

[5] Lorenz L. On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents. Phil. Mag. ser. 4, 1867,34:287

[6] McDonald K T. Maxwell′ s Objection to Lorenz′ Retarded Potentials. https://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/maxwell.pdf

[7] Nevels R,Shin C. Lorenz,Lorentz,and the Gauge. IEEE Antennas and Propagation Magazine,2001,43(3):70

[8] Potter H C. Lorenz on Light: A Precocious Photon Paradigm. 2008,arXiv:0811.2123

[9] Whittaker E T. History of the Theories of Ether and Electricity. Dover Publications Inc.,1989

[10] Zangwill A. Modern Electrodynamics. Cambridge University Press,2012

感謝大家參與週末讀書活動!恭喜 vv、雷、明朗、齊、成雪由因、ke低調ep、小琪、楊太卿 共8位讀者獲贈《量子計算公開課:從德謨克利特、計算複雜性到自由意志》一本。請儘快把快遞資訊告訴我們,以便您收到贈書哦!

相關文章

5個改變世界的方程

5個改變世界的方程

數學,是一個充滿方程的世界。 一個方程能將大量資訊濃縮成一個簡單的式子。數學家的使命不僅是推導這些方程,還有解出這些方程以發現其中所包含的資...

丘成桐談幾何:從黎曼、愛因斯坦到弦論

丘成桐談幾何:從黎曼、愛因斯坦到弦論

著名數學家丘成桐先生髮表了題為「幾何:從黎曼、愛因斯坦到弦論」的演講,追溯了為廣義相對論發展奠定基礎的的黎曼幾何,回顧了影響廣義相對論發展的...

在量子領域中,存在蝴蝶效應嗎?

在量子領域中,存在蝴蝶效應嗎?

在一些科幻故事中,蝴蝶是一種神奇的小生靈,它們可以打破平衡,憑藉其微小的能量,引發一連串越來越重大的事件,製造出一場山崩地裂。這種神祕的效應...

愛因斯坦的少作 | 昌海一述

愛因斯坦的少作 | 昌海一述

點選上方藍字「返樸」進入主頁,可關注查閱往期文章 由於微信公眾號試行亂序推送,您可能不再能準時收到《返樸》的推送。為了不與《返樸》失散, 請...

相對論前夜:牛頓和麥克斯韋的戰爭

相對論前夜:牛頓和麥克斯韋的戰爭

為了給狹義相對論作鋪墊,我專門寫了三篇麥克斯韋方程組的文章,為了讓中小學生能更好理解麥克斯韋方程組,我又補了一篇微積分,現在終於可以正式談狹...

相對論前夜:牛頓和馬克士威的戰爭

相對論前夜:牛頓和馬克士威的戰爭

為什麼講狹義相對論要先講電磁理論呢? 愛因斯坦發表狹義相對論的論文叫《論動體的電動力學》,一般電動力學教材的最後一章也會講狹義相對論。這一來...