第四講：原子4.3 從氫原子到萬物
20世紀是物理學的世紀。在過去一百年中，物理學取得了空前的發展，湧現出很多新想法、新觀念，其影響超越了物理領域，深刻改變了人們對世界的認識。
在《一說萬物：現代物理學百年漫談》中，來自香港科技大學的王一老師將給大家分享這些既深刻又有趣的新想法、新觀念。
每期一個話題、一個概念，講述精巧、富有啟發性。來一起感受思考的樂趣吧！
我們已經知道，世界是由原子組成的，現在，我們進一步「抓」過來一個原子，來研究它的性質。首先，我們當然挑最簡單的原子，即氫原子——其原子核只是簡單的一個質子，核外只有一個電子在繞著這個質子轉動。
研究氫原子的性質之前，我們先回顧一下光譜學的發展。光譜學是牛頓創立的，1666年在研究太陽光譜時，牛頓發現太陽光透過三稜鏡會被分成紅橙黃綠青藍紫的光譜。在1814年，科學家又發現，太陽光譜其實不僅僅是簡單的、連續的紅橙黃綠青藍紫譜線，其中也會有一些暗線；1817年，又發現月亮的光譜、金星的光譜、火星的光譜也有類似的暗線。紅橙黃綠青藍紫裡邊缺了一些線。當時人們不知道背後的原因。1826年，又有人發現一件事情，如果我們加熱一種元素，該元素發射的光譜和太陽光譜非常不一樣。太陽光譜幾乎是連續的，只不過裡邊有幾條暗線而已，而元素加熱發出的光，經過稜鏡的分離，就變成了一道一道的了，只有分立的頻率，即其光譜是分立光譜。
再回到暗線的故事。1832年，發現暗線其實是吸收光譜。比較冷的某種元素被太陽光加熱了，它吸收了光的一些能量，也就是說，太陽光傳播到這些比較冷的元素的時候，被這些元素給「截胡」了。而且這些元素很挑食，專門挑一些頻率去吸收，於是你看到的光譜裡就有一些暗線。元素加熱而發射的光譜是一道一道的，這個元素截胡太陽光時所吸收的光譜也是一道一道的，1859年的時候，人們發現發射光譜一道道的位置（指波長或頻率）和吸收光譜的是一樣的。
元素能「吐」出什麼和它能「吃」進什麼是一樣的。光譜就像元素的指紋一樣，不同的元素的光譜是很特徵的，一種元素髮出或吸收的光譜和另一種元素是不一樣的。於是，我們就可以透過加熱一些物體，分析其光譜，來窺探這一團物體中都有什麼元素。1860年，透過這種方法發現了銫元素和銣元素。
但是光譜究竟是什麼？為什麼元素可以發出特徵光譜？到這時，我們還不知道。
時間到了1885和1888年，巴爾末和裡德伯發現，最簡單的元素氫元素的光譜滿足一個非常簡單的數學公式：波長的倒數剛好正比於兩個整數的平方的倒數之差。這樣一個神祕而簡單的公式，其背後應該有一個物理解釋。
在同一個時間發展線上，到了1900年左右，還有另外兩件事情已經取得了突破：一件事情是量子論，光量子於1900年、1905年時被提出；另一件事情是原子結構，1897年，湯姆森發現了電子，1899年，拉塞福發現了氦原子核，被方便的叫做α粒子。
1904年，湯姆森提出一個原子模型——布丁模型。該模型認為，原子就像一個蛋糕，原子裡的電子就像是蛋糕中的葡萄乾，均勻的鑲嵌在蛋糕裡面。但是1909年，拉塞福等人做了α粒子散射實驗，實驗告訴我們，布丁模型是不對的。α粒子射到金箔上的時候，大多數的α粒子幾乎是沒有阻礙的過去了，只有少數的α粒子被原子強烈的、大角度的反彈回來。這件事情讓人們很吃驚。
湯姆森的布丁模型看起來很好，但拉塞福的實驗表明，原子裡是非常不均勻的，有一個很小的原子核，其他的地方基本上空空如也。基於這個看法，拉塞福提出了一個「行星模型」，該模型認為：電子就像行星繞著恆星轉一樣而繞著原子核轉。這個模型解決了α粒子散射實驗，但是出現了一個新的更嚴重的問題。電子繞核轉動的時候，會輻射電磁波，所以電子就會往原子核掉，10-10秒都不到的時間內，電子就會掉到原子核裡。這個問題怎麼解決？
我們有三條線索：光譜，光量子，拉塞福的行星模型。時勢造英雄，有一個人站了出來，他就是玻爾。1913年，玻爾提出了一個原子模型。首先，他採用了拉塞福的行星模型，即電子在繞原子核的軌道上作圓周運動，然後，玻爾把它和量子化聯繫了起來。電子的軌道運動具有一個頻率，玻爾把電子軌道運動的頻率和所發出光的頻率聯繫起來了。兩個頻率是有關係的，另外發出的光子應該是整數個光子，從這兩點玻爾推匯出，頻率應該是正比於兩個整數的平方的倒數之差。對於光子，頻率等於光速除以波長，因此便得到了巴爾末和裡德伯的公式。
而關於電子軌道運動的頻率和所發出光的頻率為什麼應該相等？實際上，後來好多人都沒明白玻爾是怎麼得來的，沒準他是蒙的，當然也有可能是出自他超凡的物理直覺。十年以後，當德布羅意提出物質波假設的時候，這一點就非常清楚了。電子是物質波，是具有波動性的，波動性要求在整個原子軌道上，要有整數或者半整數倍的波長，不能有1/4波長，不然接不上。這個條件就告訴了我們最後的公式。
玻爾的原子模型，把三條線索接到一起，最後解決了巴爾末-裡德伯模型究竟如何去解釋的問題。但玻爾的原子模型有其歷史侷限性。氫原子還有超精細結構，這是玻爾模型解決不了的。另外，除了氫，其他原子也有光譜，但是其他原子的光譜，玻爾模型也解決不了。
現在回頭看，我們知道玻爾模型為什麼會失敗，因為玻爾實際上相當於從經典理論裡邊走出了一步，但是他還沒有真正的走進量子理論的大門。玻爾雖然用了量子化條件，但仍然採用了拉塞福的軌道這樣的想法。電子軌道是一個經典的概念，現在我們知道實際上電子不是按軌道運動的，它是電子雲，即概率幅。
概率幅用波函數來表示，這個波函數所滿足的方程叫「薛丁格方程」，如下所示，精確的說這個樣子的叫「定態薛丁格方程」。左邊的量是動能加勢能，叫做哈密頓量。哈密頓量在量子力學裡面是非常非常重要的，它告訴你係統的性質以及這個系統隨著時間會如何演化。所以，網上有歪詩言：洛陽親友如相問，直接去問哈密頓。非常有道理，因為你要知道態的性質，態的演化，你問哈密頓量就行了，不用去找這個態本身。
氫原子是單電子原子，當然我們還有多電子原子，比如氦、鋰、鈹、硼、碳、氮、氧、氟、氖，等等。這些多電子原子和氫原子相比，有什麼差別？
第一，泡利不相容原理。泡利不相容原理由泡利提出，它指出兩個電子不能處於相同的狀態，就像兩隻小貓，它們必須得在不同的地方，你不能把它們擺到一起。
第二，電子會遮蔽原子核的一部分電量。電子帶負電，原子核帶正電，電子繞著原子核轉的時候，它會中和一部分原子核的電量，也就是說，在離得更遠的電子看來，原子核帶的電量好像是減少了。這就好像一群小貓去擠著喝貓媽媽的奶和一個小貓獨佔貓媽媽的奶，感覺是不一樣的。
還有電子間的相互作用，就像這一幫小貓喝奶的時候互相擠來擠去，會影響其中每一隻小貓的運動。
多電子原子和單電子原子相比有了這些不同，也有了更復雜的特點。於是，要精確地計算氦、鋰、鈹、硼等等的光譜到底是怎麼樣的，十分不容易，但是我們可以做一個定性的分析。首先從氫看起，由薛丁格方程解出氫原子的波函數，波函數有很多種，我們挑能量最低的一種，我們可以在這個波函數裡放一個電子。而對於氦原子，我們可以解出一個和氫原子中非常相似的波函數。這個波函數可以容納兩個核外電子。兩個核外電子可以放到同一個波函數裡，為什麼？因為電子有自旋，自旋向上和自旋向下的電子屬於不同的狀態。
下面是鋰，首先我們有跟氫原子最低能量態差不多的波函數，但是這個波函數上最多只能放兩個電子——自旋向上和自旋向下。第三個電子只能放在更外邊，即放在另一個波函數裡，也就是薛丁格方程的另一個解。對於鋰而言，這另一個解的能量稍稍高一點，但是沒有辦法，這個電子它擠不到最核心，它只能在那個地方。
所以，對於最外層的波函數（從半經典的角度講就是最外層的軌道）而言，氫原子的最外層軌道上有一個電子，鋰原子最外層的軌道上也有一個電子，鈉、鉀、銣、銫，最外層的軌道上也都只有一個電子，所以這些元素的化學性質就比較活潑。而氦最外層的軌道被佔滿了，佔滿了以後就無慾無求了。所以，氦原子的化學性質比較懶惰，後面的氖、氬、氪、氙、氡也是差不多的，比較懶惰。
透過類似的分析，當然具體是非常複雜的，構建出一個從活潑到懶惰的表來，這個表就是元素週期表。當然，門捷列夫構建元素週期表是從化學的經驗規律出發的，但是知道了原子內部的性質之後，是可以從第一原理來構建元素週期表的，是同一個元素週期表。有了元素週期表之後，你可以去研究很多的化學現象，你還可以把這些不同的原子放在一起，去研究結合成的物質的性質。這種對物性的研究就是凝聚態科學、材料科學。等等，等等。
導師簡介王一：中國科學技術大學本科，中國科學院理論物理研究所博士。現任香港科技大學副教授，研究領域為理論宇宙學。近期的主要研究興趣是將物理學中最大的物體和最小的物體聯繫起來，用早期宇宙的遺蹟研究基本粒子物理。其他研究方向還包括早期宇宙模型、暗能量、暗物質、原初黑洞、引力波等。曾獲香港大學教育資助委員會青年學者獎、被學生評選為最喜歡的教師。
來源公眾號：墨子沙龍
