簡單的數

數字可謂是數學系統中最基本的單元,它們所擁有的特性已經讓數論家為之著迷了上千年。數字可被分為不同的類型,如自然數、整數等等,不同種類數字之間又各自有著一定的關聯,並且有著一些與它們相關的數學問題。

平方數是數學中非常重要的一個概念,比如在畢達哥拉斯定理中,直角形的斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和。可以說,平方數是幾何學的基礎。

平方數與許多數學問題相關。以4為例,這個在0和1之後的第一個平方數,就與「四色定理」息息相關。四色定理說的是用4種不同的顏色,給平面上的地圖著色,能使地圖上任意相鄰的部分具有不同的顏色。1770年,拉格朗日證明了所有的整數都可以由4個數的平方數表示,也就是所謂的四平方和定理,它是費馬平方和定理的一個特例。

立方數的概念與平方數類似。在數論中,一個與之有關的未解謎題就是:是否每一個整數,都能被表示為三個整數的立方和?即是否存在整數k、x、y、z,使得對於所有的k,都滿足等式k = x³ + y³ + z³。這個問題自提出之後,便難倒了一眾數學家。直到2019年,100以內的整數才被全部求解。

除此之外,與立方數有關的數學問題還有立方數的華林問題,它說的每個正整數都可被寫成9個正立方數之和;另外,已被解決的費馬大定理中,也是探討立方數的一個典型例子。

如果數字界有明星,那麼素數一定是其中頂流中的C位。

兩千多年前,歐幾里得就證明了素數有無窮多個。自那之後,素數就成為了一代又一代的數學家為之著迷的課題。在數軸上,素數一開始有很多,比如1-10中就有4個素數;但在從長1位的數字到長10位的數字之間,只有4%的數字是素數。

素數是數學中一些重大問題的核心,有大量數學問題都與它有關,例如孿生素數猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想等等。而研究這些問題,不僅僅是為了滿足處於人類智慧金字塔頂端的那些數學家們的好奇心。素數也可用於加密資訊,可以說,素數是現代密碼學的基礎,它與現代生活的方方面面相關。更好地理解素數之間的間隔、素數的分佈、預測素數的出現,至今仍是許多數學家的研究目標。

自然數的連續求和所得就是三角形數;而兩個相鄰的三角形數之和是一個平方數。因此,這自然就產生了一個與之相關的重要問題:三角形數中是否存在平方數?

答案顯然是肯定的,在三角形數中,最小的平方數是36,而這樣的三角形平方數有無窮多個。與三角形數相似的還有正方形數、六邊形數等等,顧名思義,它們是可以被排列成正方形以及六邊形的點(或圓)的數。

完全數的定義並不難理解,而找到一個完全數、證明一個數是完全數卻很難。對完全數的尋找可追溯到古希臘時期,但漫長的時間過去了,我們仍只找到51個完全數。前四個完全數都是由歐幾里得發現的,而最大的一個直到2018年才被發現,它的大小接近5千萬位數字,比2017年發現的第50個完全數多了300多萬位。

在計算機和更好的數學技術的幫助下,現在發現一個完全數已不像過去那麼艱難,但仍有許多問題需要進一步探索。與之相關的問題有很多,比如所有的完全數有什麼共同的性質嗎?偶數完全數的數量是無窮的嗎?存在奇數完全數嗎?

1202年,比薩的萊奧納多在著作《算盤書》中寫到了一個關於兔子增殖的問題,描述了假設兔子長生不老,那麼從一對兔子開始,一季之後兔子的數量會如何增長。他得出兔子的數量會遵循這樣一個序列增長:從第三個數開始,每個數等於前兩個數之和。序列中的每一項就叫做斐波那契數。現在,斐波那契數被廣泛用於對真實生物種群的研究中。

斐波那契數有許多有趣的規律,比如它與黃金分割數φ關係密切,斐波那契數之間的比約等於φ。再比如將斐波那契數的倒數相加,會得到一個無理數,即一個不能用分數表示的數。此外,在上文中提到的那些數中,唯一的非平凡的斐波那契平方數是144;而1、3、21、55是僅有的斐波那契三角形數;斐波那契數不可以是完全數。

斐波那契數中有許多素數,已知最大的斐波那契素數有數千萬位。而斐波那契素數是否有無窮多個,亦是數學家至今沒有答案的問題。

複數的出現源自於對三次方程的求解,「復」不在於「複雜」,而在於強調它是由兩種不同的數字複合而成的數。它是代數等一些較複雜數學領域的基礎,它的出現,滿足了我們在求解多項式方程過程中對數字的需求。這一切都得益於虛數概念的引入,它是一種抽象概念,與負數的平方根有關。

但複數又並非只是一個抽象的數學概念,在許多現實應用中,複數都扮演著重要的角色,尤其是在電子學和電磁學方面。此外,還有一些新的數字系統衍生自複數,例如在19世紀發展起來的四元數就是複數的一種擴展,現在主要用於計算機圖形學。

與複數相關的數學領域有很多,例如數學中最著名的一個未解問題——黎曼假設,就屬於複分析領域的問題。

什麼是無窮?這是一個非常古老的問題。無窮代表無窮無盡,比如沒有盡頭的宇宙,或者一張沒有盡頭的列表……這種無限性被亞里士多德稱為「潛無窮」,表示它確實存在,但我們永遠無法真正見到它。

數學世界所涉及到的無窮都是潛無窮,比如自然數,再比如一條無限長的直線。那麼,一條直線所表示的無窮是否與自然數所表示的無窮相同?數學家將無窮區分為「可數」無窮和「不可數」無窮,前者指的是像自然數集合那樣的,假如可以的話集合中的所有元素能被一一列出的無窮集合;而後者指的是那些無論如何列表,一定會漏掉一些元素的幾何,就像正實數那樣。

那麼無窮與無窮之間,存在大小之分嗎?當我們比較有限集合的大小時,會檢查一個集合中的所有元素是否與另一個集合的元素能一一對應,如果是,那麼這兩個集合有著相同的大小,即有著相同的基數。將這種方法延伸到無窮幾何,以自然數和直線為例,會發現所有自然數集合中的元素也都存在於直線集合中;但無論如何列舉直線集合中的元素,都一定會漏掉一些元素。因此,直線的基數是大於自然數的基數的,意味著兩個無窮存在大小之分。

數學領域中的許多未解問題實則都是對無窮與否的探討,所有這些所討論的都屬於潛無窮的範疇。其實亞里士多德還提出了「實無窮」的概念,它指的是那些可被測量的東西,比如在某時某地某物的溫度。不過亞里士多德認為,實無窮在物理世界中不存在,但至今物理學家們仍都不知道他的這種說法是對還是錯。

文:佐佑
圖:穿花衣的雯雯子

參考來源:

https://plus.maths.org/content/what-infinity

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_number_theory_topics#Modular_arithmetic

https://www.britannica.com/science/number-theory/Pierre-de-Fermat

http://cse.unl.edu/~choueiry/F07-235/files/NumberTheoryApplications.pdf

https://byjus.com/maths/number-theory/#topics

https://www.quantamagazine.org/the-map-of-mathematics-20200213/

https://www.math.brown.edu/~jhs/frintch1ch6.pdf

https://plus.maths.org/content/even-perfect-numbers