俄美兩位同齡天才，影響了20世紀數學

同生於1903年的俄國數學家柯爾莫哥洛夫和美籍匈牙利人馮·諾伊曼是兩位耀眼的數學巨星，他們在各自的人生舞臺上，展演了精彩紛呈的劇目，為後人留下了不盡的懷想。今年是這兩位數學「雙子星」誕辰一百二十週年，在此我們一瞥其超脫於意識形態之外的偉大成就，並希望數學的星光在本世紀裡繼續閃耀。

撰文|丁玖（南密西西比大學數學系教授）

1903年已被歷史證明是國際數學界的幸運年，甚至可以稍微誇張地說成是改變二十世紀數學歷史進程的一年。那年初的和煦春風給東方的俄羅斯吹生了安德雷·柯爾莫哥洛夫 (Andrey Kolmogorov，1903年4月25日-1987年10月20日)，而在那年的冬天，匈牙利降生了約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann，1903年12月28日-1957年2月8日）。

柯爾莫哥洛夫這位東方數學王國的彼得大帝和馮·諾伊曼這個西方數學世界的所羅門王，在他們各自學術生涯的鼎盛時期，一個為社會主義陣營之首的蘇聯開闢數學方向、證明深刻定理、培育將帥人才，一個為統帥資本主義聯盟的美國設計電腦模式、破解自然奧秘、埋首國防科技。他們有若干共同的愛好，也有不少相異的特點。他們年輕時都深愛歷史，卻堅定走向數學家道路；他們都有與生俱來的貴族血液和氣質，一個從上到下擁有伐木工人般的健壯體格，另一個卻從頭到尾以銀行家式的肥碩體型著稱；他們在世時都沒有缺乏營養，一個生來喜歡帶學生遠足，在大自然中領悟數學，另一個卻將鍛鍊時間送給熱鬧的家庭派對，喜愛飆車兜風講笑話；他們都是二十世紀數學史上的巨人，但在給數學家畫像的物理學家戴森（Freeman Dyson，1923-2020）筆下，一個可能會被稱為翱翔數學天空創造新領域的「飛鳥」，另一個已經被歸入深挖數學寶藏解決困難問題的「巨蛙」；二戰中他們都為打敗軸心國貢獻非凡才智，一個為首都免遭德軍空中襲擊制定最佳方案，另一個致力於為核彈研製出謀劃策；他們都是天賦異稟的絕世天才，一個終生打造「滿園春色」，為祖國培育無數俊傑，另一個卻滿足於「一花獨放」，鮮花凋謝後卻難見後繼有人；他們終生超負荷運行各自無以倫比的大腦，一個活到84週歲無大遺憾，另一個卻比前者少活三十年，離世前壯志未酬。

今年是他們誕生一百二十週年的共同年份。儘管他們有不同的政治信仰，分別全身心服務於彼此冷戰過幾十年的蘇美兩國，但是他們作為數學巨人，值得我們同時紀念。百年來，上天沒有太慷慨地讓人間多出幾個像他們那樣的科學偉人，然而我們應該追尋他們的足跡，領會他們的心靈，使得一代新人從中獲得鞭策與鼓舞。

柯爾莫哥洛夫

美國數學史家貝爾 (Eric Temple Bell，1883-1960) 出版於1937年的Men of Mathematics (一個中譯本是《數學大師》)，影響過幾代科學家。可惜他寫得太早，在書中精心描繪的三十餘名大數學家中，他只寫到法蘭西人龐加萊 (Henri Poincaré，1854-1912) 為止，連只比龐加萊小了八歲的普魯士人希爾伯特 (David Hilbert，1862-1943) 都沒能進他的書。專寫龐加萊那章的標題是「The Last Universal Mathematician」 (最後一位全能數學家)。如果作者多活十年，並在去世前修訂這本鉅著，不僅有可能會加上希爾伯特、柯爾莫哥洛夫和馮·諾伊曼這三人，而且或許還會稱柯爾莫哥洛夫為「最後一位全能數學家」。

柯爾莫哥洛夫可以被視為二十世紀俄羅斯的龐加萊，但他出生時遠非像出身名門望族的後者那麼幸運。他的父親是個農學家，但後來投身推翻沙皇統治的革命，終被聖彼得堡當局流放到外省，1919年在內戰中被殺；他的未婚母親在生他時又不幸去世。好在痛失雙親陪伴的他沒有失去至親的愛，他隨著兩個姨媽在富翁外祖父的貴族莊園長大，受到很好的早期教育，進入姨媽維拉的鄉村學校唸書，在校刊《春燕》上發表了他最早的文學和數學作品。五歲時他就成了這個校刊的「數學編輯」，同年他獨自發現了奇數和的規律，並發表在校刊上：1 = 1²，1 + 3 = 2²，1 + 3 + 5 = 3², …。

1910年，柯爾莫哥洛夫的姨媽正式領養了他，一家定居莫斯科，十年後柯爾莫哥洛夫讀完了高中，考入莫斯科大學，同時也在門捷列夫莫斯科化學與技術學院讀書。他後來回憶道：「我帶著相當的數學知識來到莫斯科大學。我特別了解集合論的開端。我學習了 Brockhaus-Efron 百科全書中的許多問題，併為自己填補了書中那些過於簡潔的內容。」多卷本百科全書常是傑出人物青少年時代的「自修課本」，因為他們從不囿於學校裡那些只適合普通人的必修科目。從大學生時代起，柯爾莫哥洛夫因其博學多才而享有盛譽。

如同遠在他國的同齡天才馮·諾伊曼，柯爾莫哥洛夫的廣博知識包括歷史學。他參加了一位俄羅斯史名教授的研討班，並寫出了他一生中的第一篇研究性論文，探討的自然不是數學史，而是關於十五、六世紀諾夫哥羅德共和國土地佔有的實踐史。寫好後他頗為得意，以為教授會大加賞識。出乎他意料的回答卻是：「你文章中的論據只有一個，對歷史學而言太少了，起碼得有五個論據才行。」（這位歷史教授應該成為只「大膽假設」不「小心求證」以快速發表論文的那些社會科學家的「博士論文導師」。）正是這位令學生頗為失望的歷史學家在無意中把柯爾莫哥洛夫推向了他的另一個至愛——數學。他對數學終生矢志不渝，因為數學中的定理只需一個證明就夠了！

在不到20歲時，年輕的柯爾莫哥洛夫就證明出有關集合論以及三角級數的幾個重要結果。1922年，他構造出一個幾乎處處發散的傅立葉級數，成了冉冉升起的一顆數學新星。從那時起，他決定一生獻給數學，這是數學的幸運，卻是歷史學的損失。到了大學四年級，他已發表八篇論文，1929年拿到博士學位時他又寫出了十篇，導師是比他年長20歲的莫斯科函數論學派的領袖之一魯金（Nikolai Luzin，1883-1950）。柯爾莫哥洛夫一生的數學活動大大促進了眾多領域的發展，包括函數論、概率論、泛函分析、拓撲學、隨機過程、力學、湍流、遍歷理論等，其中他於1933年以專著Foundations of the Theory of Probability（《概率論基礎》）的形式用測度論語言建立的現代概率論公理體系，為一項名垂千史之作。

柯爾莫哥洛夫28歲時成為莫斯科大學教授，八年後當選為蘇聯科學院院士。那個院士稱號就像1948年的中華民國中央研究院院士或1955年的中國科學院學部委員一樣，完全是「足赤的金」。在祖國科學界，他囊括了與數學有關聯的幾乎所有大獎：國家獎、列寧獎、史達林獎、切比雪夫獎、羅巴切夫斯基獎。在國際舞臺上，他參加了1954年到1970年總共五次國際數學家大會中的四次，並於1954年在荷蘭阿姆斯特丹召開的第十二屆國際數學家大會上作了關於動力系統的一小時全會報告。該報告首次給出了求解經典力學微擾理論中小除數問題「KAM定理」的原始思想，其中的K自然是他，M是德裔美國數學家莫澤 (Jüngen Moser，1928-1999)，A是阿諾德 (Vladimir Arnold，1937-2010)。後兩人分別於1962和1963年對光滑扭曲對映和解析哈密頓系統證明了這個著名定理。

這裡再舉出柯爾莫哥洛夫在動力系統領域的另一項傑出貢獻，並稍加說明。五十年代中期，他在考慮遍歷理論的「共軛不變數」這一基本問題時創造了「測度熵」概念，這個在遍歷理論中具有基本意義的熵是一個共軛不變數，意思是說彼此共軛的保測變換共享同一熵值，就像特徵值是矩陣相似變換的相似不變數。

早在1943年，人們就已經知道定義在0和1兩個符號構成的雙向序列符號空間上的「伯努利(1/2, 1/2)-雙邊移位」和定義在0、1和2三個符號構成的雙向序列符號空間上的「伯努利(1/3, 1/3, 1/3)-雙邊移位」這兩個保測變換都具有可數無窮個「勒貝格譜點」，因而它們是譜同構的。然而數學家們不清楚它們是否也共軛，即是否存在這兩個符號空間之間的保測同構，使得一個移位與它的複合等於它與另一個移位的複合。1958年，柯爾莫哥洛夫算出這兩個雙邊移位具有不同的測度熵，一個是ln 2，另一個是ln 3，因而它們彼此不共軛。

測度熵的最後完善化由柯爾莫哥洛夫的學生西奈依 (Yakov Sinai，1935-) 在1959年完成，因而該熵在文獻中常被稱之為「柯爾莫哥洛夫-西奈依熵」，它度量了一般保測變換無窮迭代過程最終性態的混亂程度。柯爾莫哥洛夫是個登峰造極的原創型數學家，他的腦汁澆灌出思想的花朵，但果實有時要靠勤勉園丁的催熟。他的另一個弟子阿諾德曾經書面回憶過，老師有時會在討論班講臺前「掛黑板」，因為他忘記了證明的某些細枝末節。還有人統計過柯爾莫哥洛夫有十五篇的開創性論文沒有列出任何參考文獻。

柯爾莫哥洛夫的博士師兄兼終生好友、拓撲學家亞歷山德羅夫 (Pavel Alexandrov，1896-1982) 說數學天才有「快型」和「慢型」之分，「希爾伯特屬於‘慢’的天才，而柯爾莫哥洛夫無疑是‘快’的天才。」阿諾德在他的老師百歲冥誕時寫的紀念文章裡也回憶到他的這位領路人建立新學科速度之快：一兩個禮拜就能解決一個大問題。但他快速成型的思想之深遂、日積月累的知識之廣博、推陳出新的創造之能量，同時代幾乎無人能與之匹敵。創造型數學家才是真正了不起的數學家，生前極受人尊敬、身後歷史上留名、成就常被人提起，就像十多年前丘成桐 (1949-) 在面對北京數學家們的演講中所專列的三個華人：創造出在幾何拓撲中有基本用途的「陳-示性類」的陳省身 (1911-2004)、在「多元複變函數論」中與西方並駕齊驅的華羅庚 (1910-1985)、獨立於西方提出「有限元方法」理論框架的馮康 (1920-1993) 。

柯爾莫哥洛夫和義大利裔美國物理學家費米 (Enrico Fermi，1901-1954) 一樣，帶出或影響了一大批傑出的學生，在國際數學界和物理學界可以分別用「前不見古人，後不見來者」來形容，尤其是前者。有人統計過，柯爾莫哥洛夫直接指導過的學生有67人之多，在數量上幾乎達到孔夫子「賢弟子七十二」的紀錄，其中有14人被選為蘇聯科學院的院士或通訊院士，名單可見張奠宙 (1933-2018) 所著《20世紀數學經緯》書中的第368頁。除了前述的阿諾德和西奈依，柯爾莫哥洛夫還有一個更有名的弟子是從未讀過高中或大學就直接成為其博士生的蓋爾範德 (Israel Gelfand，1913-2009)。這位傳奇的學生和吳健雄 (1912-1997) 一同站在了第一屆沃爾夫獎的領獎臺上接受以色列總統頒獎，甚至比他的老師還早了兩年獲此殊榮。

柯爾莫哥洛夫

柯爾莫哥洛夫由於其在國內外崇高的學術地位，即便在多疑冷峻的史達林 (Joseph Stalin，1878-1953) 當政時，日子也比絕大多數的蘇聯科學家好過一些，未遭遇太大的政治麻煩。有趣的是，1930年，小他八個月的馮•諾伊曼由東歐赴美擔任普林斯頓大學的訪問教授，而柯爾莫哥洛夫則前往西歐的數學重鎮：哥廷根、慕尼黑、巴黎，結識了希爾伯特、勒貝格 (Henri Lebesgue，1875-1941) 等大數學家。這九個月的學術訪問令他終生難忘。如果柯爾莫哥洛夫像馮•諾伊曼終生留在美國那樣待在西歐不歸或應邀赴美長居，在美蘇冷戰的幾十年漫長歲月裡，他和西方一流數學家的交流無疑會更深入廣泛、對國際數學社會的影響會更有力全面。但是，如同華羅庚1950年的美國歸來使得東亞病夫式的中國數學局部地翻了身，柯爾莫哥洛夫的存在讓已令西方佩服得五體投地的俄羅斯數學更上了一層樓。

柯爾莫哥洛夫長期參與培育資優青少年，晚年更熱衷於中學數學教育改革，不僅親手施教，而且率領孩子遠足野營，從培養體魄中訓練數學。但像比他早幾十年熱心青少年教育實驗的英國哲人羅素 (Bertrand Russel，1872-1970) 一樣，未能特別成功。這兩個智者，都缺乏毛澤東 (1893-1976) 當年把西方共產主義理論同中國革命具體實踐相結合而採取的實事求是方法，在初等教育中未能將理想主義與現實主義有機結合起來，高估了一般學生的創造力和理解力。改革不理想而心理受打擊的柯爾莫哥洛夫最後患上了帕金森症，在84週歲那年去世，未能像一生中高潮低谷三起三落但永葆「三大激情」終生達觀的羅素那樣活到將近百歲。

阿諾德對自己的導師這樣「蓋棺論定」：「柯爾莫哥洛夫、龐加萊、高斯、歐拉、牛頓，只有這五個生命將我們與科學的源頭分開。」

馮•諾伊曼

馮·諾伊曼降生在匈牙利布達佩斯一個富裕猶太家庭，似乎是《論語》中所說的「生而知之者上也」。六歲時，他能表情奇怪地心算八位數的乘除。成年後的他在用頭腦計算複雜問題時常注視著天花板，像和尚唸經似地口中唸唸有詞，答案就從嘴邊滾滾而出。一個廣為流傳的故事說當他被問，在勻速相向而行的兩人之間，有一隻蒼蠅在他們之間不間斷地以勻速直線運動來回飛，那麼在兩人碰面時，蒼蠅共飛了多少距離？馮•諾伊曼一眨眼就告訴了答案，用的是令人驚訝的無窮級數求和法，而不是人們通常所用的初等方法。

馮·諾依曼確是神童，他八歲熟悉微積分，12歲讀懂波萊爾 (Émile Borel，1871-1956) 的《函數論》，15歲跟隨著名分析學家賽格 (Gábor Szegő，1895-1985) 研習高等微積分。在他們首次見面時，賽格對他的數學天賦感到非常震驚，以至於流下了眼淚。但年少的馮·諾伊曼對歷史也特感興趣，在自家的圖書館裡通讀了一套 46 卷世界歷史系列《專著中的通史》。在他就讀的精英中學，除了幾何繪畫、寫作和音樂得了B外，他其餘門門是A，但體育最差：C。

美國首屆國家科學獎得主馮·卡門 (Theodore von Kármán，1881-1963) 也是匈牙利神童。他在自傳中回憶，當年17歲馮·諾伊曼的銀行家父親曾特地諮詢了已有名氣的馮·卡門，問兒子大學讀何專業好。作為父子不同選擇的折中方案，馮·諾伊曼同時在德國的柏林大學和祖國的布達佩斯大學分修父親選的化工和自己愛的數學。馮·諾伊曼的第一篇數學論文發表在1922年，那時他還不到19週歲。當他翌年轉到瑞士的蘇黎世聯邦工學院讀化工研究生時，主要在做數學了。有次馮·諾伊曼在課堂上問了也生於布達佩斯的波利亞 (George Pόlya，1887-1985) 教授一個數學問題，後者晚年時對此評述道：「從那時起我就開始害怕他了。」

馮·諾伊曼大概是二十世紀全世界最聰明的數學家，這讓德裔美國物理學家、1967年的諾貝爾物理獎獲得者貝特 (Hans Bethe，1906-2015) 感嘆不已：

「有馮·諾伊曼這樣的大腦是不是意味著存在比人類更高一級的生物物種？」

長馮·諾伊曼一歲並在匈牙利同一所精英中學早一年畢業、1963年的諾貝爾物理獎獲得者魏格納 (Eugene Wigner，1902-1995) 終生對他有一種近乎自卑的情結藏於心中：

「不管多麼聰明的人，和馮·諾伊曼一起長大就一定會有挫敗感。」

雖然馮·諾伊曼被公認為電子計算機之父和博弈論之父，但他認為最令自己自豪的學術貢獻都在數學上：希爾伯特空間的自共軛運算元理論、量子力學的數學基礎和以他名字命名的馮·諾伊曼平均遍歷定理。這三項數學成果都是開創性的，第一項構成了上世紀初開始孕育的新學科泛函分析的一個主要部分，第二項用無窮維線性運算元的語言夯實了量子力學的邏輯基礎，第三項則對統計力學中基本的玻爾茲曼遍歷假設給予了數學的檢視，是遍歷理論這門在本世紀註定要更加發達的綜合性學科中被證明的第一個重大定理。

馮•諾伊曼的主要數學成就當然不止他自己認定的上述三個。1940年是他研究事業的分水嶺。在這之前，他在純粹數學的象牙塔裡大顯身手，一出手就在數理邏輯領域裡留下深深的足跡，很快又在集合論中提出了新的公理化體系。在短時間內完成一生三大數學成就後的1933年，還沒到30週歲生日的馮•諾伊曼就用緊緻群的工具破解了希爾伯特第五問題，然後他從測度論、格論、連續群、運算元環等地盤一路殺去「橫掃千軍如卷席」，留下累累戰果。

這位身材敦實、碩大的頭部常面帶微笑看上去更像富國銀行總裁的大數學家，一生中也許不及愛因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955) 具有那種驚世駭俗的原創力，但卻像中國十年前快速發展的高速列車一樣，馬上能把耳聞目睹的原始想法神速地拓展開去，令人瞠目結舌。不到30週歲，他就成為普林斯頓高等研究院首批聘用的包括愛因斯坦在內的六名永久教授之一。

美國加入二戰後，馮•諾伊曼與時俱進地變換了角色，像孫悟空似地搖身一變，從純粹數學家變成了應用數學家，為氣體運動學的衝擊波、流體力學的湍流等實用學科建立了理論，也為新興的計算數學貢獻了基本的概念和方法，並在熱核聚變研究中發揮了大作用。他在忙碌之外與普林斯頓大學經濟學教授摩根斯特恩(Oskar Morgenstern，1902-1977) 合著的《博弈論和經濟行為》(Theory of Games and Economic Behavior)，成了博弈論的奠基之作。他在得知自己罹患不治之症後的最後歲月裡，努力探索電腦與人腦的類似機制，其未完成的應邀為耶魯大學於1888年建立的「斯里曼紀念講座」所寫的講稿，在他離世後以「計算機和人腦」(The Computer and the Brain) 為書名由該大學的出版社出版。

四十年代中後期，隨著馮·諾伊曼幫助研製成功的第一臺電子計算機的出現，方便而又快速的數值計算極大地幫助了創造型數學家的大腦思維，成了他們提出問題、解決問題的好幫手。作為最早接觸現代計算機的數學家，在與像費米這樣的大物理學家合作解決物理問題的過程中，馮·諾伊曼等數學家成了「非線性分析」這一集數學、物理、計算機等學科於一身的科學領域的開創者。

馮·諾伊曼雖然是以一名偉大的數學家著稱於世，然而，政治家與軍事家也和科學家那樣對他一貫「頂禮膜拜」。在他臨終前住的美國首都華盛頓裡德醫院病房裡，對現代數學幾乎一竅不通的「美國國防部正副部長、陸海空三軍司令以及其他軍政要員們圍聚在他的病榻前，聆聽他最後的建議和非凡的洞見」。歷史上似乎沒有任何其他數學家在臨死前受到眾多軍事將領如此潸然淚下的最終告別。

然而，一些同時代或晚一輩的科學家覺得馮·諾伊曼的那顆大頭顱在開闢方向的原創性上，與它在迅速解決困難問題的超凡功能相比，還是有點「稍遜風騷」的。比如，他生前短暫幾年的普林斯頓高等研究院同事、從純粹數學家起步的著名數學物理學家戴森，在其2009年發表於《美國數學會會刊》(Notices of the American Mathematical Society) 第二期上的美文《鳥與蛙》(Birds and Frogs)中，將馮·諾伊曼歸類於「解決問題高手」的「蛙類數學家」集合，而將楊振寧 (1922-) 放進了「翱翔遼闊天空」的「鳥類數學家」行列。

按照戴森在《鳥與蛙》中的敘述，1954年的荷蘭阿姆斯特丹國際數學家大會的與會者們目睹了一幕像混沌所揭示的未可預測的尷尬情景，這是作者對馮·諾伊曼不很欣賞的一次描繪。當希爾伯特關於23個數學問題的世紀報告過去了五十年後，人們希望一個新的高瞻遠矚的希爾伯特能提出新的大問題來引導下一個五十年的數學發展。眾望所歸的這個人似乎非人氣最旺的馮·諾伊曼莫屬。於是大會的請柬寄去了，報告的題目「數學未決問題」也發給了參會代表。1954年9月2日的下午3時整，風塵僕僕匆匆趕來的馮·諾伊曼從嘴裡吐出的是他三十年代早先工作的拿手好戲「運算元環」，而不是什麼未決問題，這不啻給了眾多翹首以盼的數學家們一記悶棍。

因此，戴森評述道：馮·諾伊曼「實則是隻青蛙，但每人都期望他像一隻飛鳥 (He was really a frog but everyone expected him to fly like a bird)。」

馮·諾伊曼

然而，肯定會有一些同噸位的科學家不敢苟同如上的斷言。1954年，馮·諾伊曼正在熱衷於做他不愧於「現代計算機之父」稱號的宏偉事業，他或許太忙了而不得不怠慢國際數學家大會對他的如此重託。因為這個插曲而得出「他不是鳥類數學家」的結論恐怕是有點理由不十分充分的。希爾伯特的創造力或許更強於馮·諾伊曼，但根據數學家傳記名作《希爾伯特：數學界的亞歷山大》(Hilbert) 中的記載，他在精心準備1900年數學家大會的「數學問題」演講稿時，得到了他終生朋友閔可夫斯基 (Hermann Minkowski，1864-1909) 的鼎力幫助，所以他能提出影響深遠的那堆23個問題，也是兩副數學巨腦「思維碰撞」的結晶。

法國布爾巴基數學學派的創始人之一兼第一寫作高手迪厄多內 (Jean Dieudonné，1906-1992)，把馮·諾伊曼稱為「最後一位偉大的數學家」。曾在四十年代當過馮·諾伊曼的助手、寫過幾本膾炙人口數學名著的匈牙利裔美國數學家哈爾莫斯 (Paul Halmos，1916-2006)，對他的評價只用了一句話概括：「偉大的馮·諾伊曼使全人類受益」。而另一位匈牙利裔美國數學家、拿過美國國家科學獎、沃爾夫獎和阿貝爾獎的拉克斯 (Peter Lax，1926-)，則把他描繪成二十世紀一個具有「最令人生畏非凡技術能力」以及「火花四射高智力」的大學者，說他有「最強大腦」 (the most powerful brain)。他在一次紀念這位祖國先賢的採訪中甚至如此認為：「如果馮·諾伊曼活得長一點，他肯定可以獲得數學的阿貝爾獎、諾貝爾經濟學獎、計算機的大獎、量子力學的諾貝爾物理學獎，等等。」

馮·諾伊曼比我們中的絕大多數人都活得短，可是世界因為他而截然不同。只要讀一讀麥克雷 (Norman Macrae，1923-2010) 於1992年出版的佳作《天才的拓荒者——馮·諾伊曼傳》(John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More)，只要看一眼當事人之一的戈德斯坦 (Herman Goldstine，1913-2004) 在他1972年所出版的書《計算機：從帕斯卡到馮·諾伊曼》(The Computer from Pascal to von Neumann) 中仔細回顧的美國現代計算機五十年代早期發展史，就可以想象，如果僅僅活到剛過了53週歲生日42天的馮·諾伊曼能活到六十年代初美國第一屆國家科學獎頒發，說不定評獎委員會真的難以決定是把這個美國科學家的最高榮譽授予他還是授予同樣對美國貢獻巨大的前輩匈牙利人馮•卡門。這個懸念的依據之一是：在馮•諾伊曼去世的前一年，美國總統艾森豪威爾 (Dwight Eisenhower，1890-1969) 授予他「總統自由勳章」。

簡單回顧了柯爾莫哥洛夫和馮·諾伊曼的科學生涯後，我們既讚歎二十世紀數學蒼穹的東西兩片天空曾經閃耀過這兩顆光芒四射的星球，又遺憾意識形態之爭所激起的洶湧湍流令他們無法在數學大海中「同志加兄弟，並肩去暢遊」的事實。但是，按照「科學無國界」的普適信念，同年出生的他們對整個數學事業，為全部人類榮光做出的豐功偉績，將「與天壤而同久，共三光而永光」。

完稿於2023年2月4日星期六

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