菲爾茲獎得主再次突破數論難題:多少整數能寫成2個有理數立方和?結論直接影響「千禧難題」之七

Pine 蕭簫 發自 凹非寺

困擾數學界幾個世紀的難題,終於有重大突破了!

這個難題如果被解決,會直接影響到一個著名未解之謎的求解——貝赫和斯維訥通-戴爾猜想。

貝赫和斯維訥通-戴爾猜想是數學界頂尖的7大千禧難題之一,有人為了證明它,懸賞過最高100萬美元的獎金。

所以,究竟突破了什麼難題?

求解一共有多少整數,能被寫成2個有理數(整數和分數統稱)的立方和。

例如整數13,就可以被「拆」成有理數7/3的立方、以及有理數2/3的立方總和:

看起來似乎不難,但數學家們在這幾百年來關於它提出的各種猜想,卻沒有一個被真正、徹底地證實。

普林斯頓高等研究所的數學系教授Peter Sarnak對此感嘆:

分析兩個數的立方和,意味著研究的族(family,集的同義詞)非常小,族越小意味著問題越難。

我只能說這個問題很難、

特別難,答案几乎「遙不可及」。

但對於學界而言,這個問題的求解又至關重要。

它不僅是解決很多純數學問題的核心突破口,在應用數學如密碼學領域也頗受重視。

無證明,不數學。現在3位數學家再次朝這一難題發起挑戰,併成功突破了關鍵瓶頸之一。

所以這個數學問題究竟難在哪裡,數學家們又究竟如何取得了這一突破?

選擇與三次方「死磕」

我們先來回看一下這個要解決的難題:

究竟有多少個整數,可以表達成有理數三次方和的形式?

和的形式?

這時可能會有盆友好奇,為什麼數學家們要死磕三次方的和,而不是平方、四次方、五次方……呢?

答案也很簡單——它更難,也更有用。

具體原因有以下三點:

其一,除了三次方之外,無論是小於它的二次方、還是大於它的N(N>3)次方,有些問題已經被解決過了。

就拿二次方來說,已經有非常具體的方法來判斷哪些整數能成為兩個有理數的平方和

這個方法是在17世紀早期,數學家阿爾伯特·吉拉德(Albert Girard)和皮埃爾·德·費馬(Pierre de Fermat)提出的,如果不符合這一條件,則整數不能用有理數二次方和表示。方法具體如下:

首先,將挑選的數字分解成質數冪的形式。以整數490為例,它可以被分解成下面這種形式:

然後,對分解後的質數進行檢查:如果其中一個質因數除以4的餘數為3,那麼它的冪必須為偶數。只有這樣,原來的數才能表示為有理數平方和。

這裡7除以4餘3,它的指數為2,符合偶數的要求,因此整數490可以用兩個有理數平方和表示:

其二

其二,基於上述條件,「能否被2個有理數立方和表示」也可能成為繼奇數、偶數之外,又一個將整數有效分為兩個陣營的分類方法。

畢竟數學家們推算過,發現能用有理數二次方和表示的整數比例很低,同理N次方(N>3)也是。

相比之下,可以用三次方和表示的整數就非常豐富

光是在1~100的整數里,就有59個能用兩個有理數立方和來表示:

藍色數字可以寫成兩個有理數立方之和

這樣的話,大約就有59%的整數能被2個有理數立方和表示,甚至有數學家猜想這個數值能被推廣到所有整數範圍中。

其三,數學家們研究這個問題也不僅僅是為了有一個新的整數劃分方式,它還和數論中的「熱門研究領域」橢圓曲線有關。

有關
橢圓曲線方程

橢圓曲線具有極其複雜的結構,這使它成為純數學和應用數學等許多領域的中心,在密碼學中也有很大的用處。

立方和問題,就是橢圓曲線中的一個特例。

,就是橢圓曲線中的一個特例
橢圓曲線,圖源維基百科

如開頭提到的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想,就是橢圓曲線領域的一個核心問題。

如果這一猜想成立,便能推斷出符合上面1~100整數表現(即藍色數字圖)的結論:

在1000萬個數字中,約有59%是兩個有理數立方的總和。

不過,上面提出的這麼多推斷,繞來繞去也都只停留在猜想層面。

過去的幾百年裡,不少數學家試圖揭開這個謎題,但要麼無法得出結論,要麼無法證明自己的推斷是正確的。

它不像指數為2時,整數可以輕鬆被證明能否被拆解為兩個有理數平方和(方法如上),畢竟指數為3時,沒有確切的方法可以證明整數能否被拆解。

但嘗試一個個「暴力拆解」整數又是不現實的。

因為在整個拆解過程中,涉及到的計算量巨大

畢竟相較於拆成兩個整數立方和,拆成兩個分數立方和的難度要大得多……

舉個栗子🌰,整數2083雖然可以被拆解成兩個分數的立方和,但光是這兩個分數的分母,就長達40多個數字

這還僅僅是一個整數的計算量,更別提挨個計算其他整數了。

現在,終於有3位數學家成功突破了這個問題的瓶頸,第一次給出了可以拆解成兩個有理數立方和的整數比例:

9.5%~83%

所以這一範圍究竟是怎麼得出的?

如何圈定這一範圍?

正如上面所說,橢圓曲線的結構極其複雜,這也使得它的直接求解變得非常困難。

於是這3位數學家開始思考:為何不試試將它與更容易處理的東西聯繫起來呢?

這一想就想到了矩陣

這3位數學家中的1位,曾在今年4月證明過一個理論:

如果一個立方和方程存在有理數解(rational solutions),那麼至少存在一個2×2×2×2的四維矩陣與它對應。

依據這個理論,如果能想辦法計算出整數的2個分數立方和方程是否有對應的四維矩陣,就有辦法求解出不可能被表示成有理數立方和的整數範圍。

具體的求解過程,涉及兩方面的理論

具體的求解過程,涉及兩方面的理論:

一部分是幾何數論,涉及計算不同幾何圖形在座標系中的格點(lattice points);另一部分則是解析數論,與哈代-李特爾伍德圓法(定理)相關。

最終他們求解出的結果是,大約有1/6的整數不存在對應的四維矩陣,換言之,這1/6的整數完全不可能被表示成2個有理數立方和的形式。

這樣就確定了這個範圍的最大上限——至多有5/6(約83%)的整數可能被表示成有理數立方和。

所以求解下限的話,將定理反過來不就行了?

並非如此。

畢竟這個理論的逆定理並沒有被證明成立,即「如果一個整數能找到對應的四維矩陣,則它也能被表示為2個有理數的立方和」。

為此,三位數學家求助了橢圓曲線領域中對逆定理頗有研究的2位專家,分別是來自德克薩斯大學奧斯汀分校的Ashay Burungale和普林斯頓大學的Christopher Skinner。

他們一番搗鼓後,給出了一個

他們一番搗鼓後,給出了一個特殊情況下逆定理成立的條件,在這種情況下至少存在2/21的整數,能表示為2個有理數的立方和。

而2/21(約9.5%)這個數值,也正是這一整數範圍的下限

但畢竟是特殊情況,所以3位數學家認為,9.5%~83%這個整數範圍還能被進一步縮小。

接下來,他們打算進一步提升下限9.5%的數值,以接近逆定理完全成立下的5/12(約41%)。

領域內的學者認為,這一成果突破,表明數學家們距離貝赫和斯維訥通-戴爾猜想的證明又前進了一大步。

作者之一為菲爾茲獎得主

這次研究之前,3位數學家已經在數論領域有過幾次合作了。

其中,Ari Shnidman和Manjul Bhargava早在2012年就有過數論領域的合作,而Manjul Bhargava又是Levent Alpöge在普林斯頓大學讀博期間的導師。

Levent Alpöge,哈佛大學初級研究員,本科畢業於哈佛大學數學系,並獲得了物理系碩士學位,隨後他獲得普林斯頓大學數學系的碩士、博士學位。

他曾於2015年獲得摩根獎,這個獎項每年頒給數學研究出色的大學生。

Ari Shnidman,以色列希伯來大學數學系的高級講師,研究興趣是包括計算統計學、算術幾何等在內的數論方向。

Manjul Bhargava,普林斯頓大學數學系教授,本科畢業於哈佛大學,博士畢業於普林斯頓大學,研究方向是幾何數論。

他於2014年獲得菲爾茲獎,獲獎理由是在幾何數論領域做出的突出貢獻,包括開闢新方法來計算「小」秩(「小」指最多不超過5)的環數和估計橢圓曲線平均秩的界等。

值得一提的是,其中他研究的關於「橢圓曲線三次方程的有理數解」也是獲獎原因之一,這次研究的兩個有理數的立方和問題,就是其中的一種特殊求解情況。

這次突破有不少理論基礎,就建立在Manjul Bhargava之前做過的工作上。

論文地址:

https://arxiv.org/abs/2210.10730

參考連結:

[1]https://www.quantamagazine.org/mathematical-trio-advances-centuries-old-number-theory-problem-20221129/

[2]https://swc-math.github.io/aws/2009/09BhargavaNotes.pdf

[3]http://math.huji.ac.il/~shnidman/

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