張益唐111頁零點猜想論文出爐!自稱比孿生素數猜想意義更大,每天思考12小時被太太罵

編輯部 發自 凹非寺

張益唐攻克朗道-西格爾零點猜想的論文,來了!

111頁論文,滿滿當當全是表達式

111頁論文,滿滿當當全是表達式。

論文釋出之前,張益唐證明這一黎曼猜想相關問題的訊息,早已震動數學界。

就有專家教授表示:

張益唐要是能把Landau-Siegel做出來,就相當於一個人被閃電擊中兩次。

而張益唐自己也說,攻克朗道-西格爾零點就像是大海撈針。

整個過程我把海底的情況都摸清楚了,後來發現不用這根針,我也能把它做出來。

關於這項成果的意義,張益唐則認為:

比孿生素數猜想的意義更大,朗道-西格爾零點猜想有點像黎曼猜想那樣,它一解決,一百個猜想都變成定理了。

完整論文,我們文末奉上。

朗道-西格爾零點猜想

所謂朗道-西格爾零點猜想,簡單來說就是黎曼猜想的某種弱形式。

核心要回答的一個問題就是:是否存在一個叫做朗道-西格爾零點的東西。

首先我們設實數σ,t和複數s=σ+it。

根據知乎博主「TravorLZH」的介紹,十九世紀的數學家為了研究素數分佈引入了黎曼猜想。

而為了研究等差數列上的素數分佈,數學家Dirichlet引入了L函數。

再後來,數學家也發展出了對應的解析工具來說明L函數在σ=1時無零點,從而證明了等差數列上的素數定理:

但對於上面的公式,數學家們依舊是不滿意,他們還要繼續縮減L函數的非平凡零點的存在區域。

於是前人證明了L函數的非平凡零點基本上都能落在類似於下面公式中的沙漏型的區域:

如果L函數所有的非平凡零點都落在這個區域內,就可以得到帶餘項的等差數列素數定理。

可惜的是,數學家Edmund Landau發現當X滿足特殊性質時其對應的L函數可能會出現落在上面公式之外的異常零點(exceptional zero)。

但幸運的是,Landau證明了對於每個這樣的L函數,若下面區域中存在異常零點,則這樣的零點只可能出現一個,而且階數也恰好只能是一。

後來Walfisz利用這個更弱的非零區域得到了一個妥協版的等差數列素數定理:

很明顯,這個公式的限制條件要多了許多,所以大家當然希望L函數能夠沒有異常零點。

由於Landau和Siegel兩位數學家在L函數異常零點這個領域裡做了開創性的工作,所以異常零點也常常被稱為Landau-Siegel零點。

而斷言L函數沒有異常零點的猜測就被稱為Landau-Siegel猜想。

整體來看,其實廣義黎曼猜想恰好是Landau-Siegel猜想的充分條件。

但這一個世紀以來的研究表明Landau-Siegel問題可以比黎曼猜想還要難解決。

實際上,關於朗道-西格爾猜想,早在07年張益唐就曾在arXiv上發佈一篇論文,但是裡面的論證有些Bug。

有意思的是,在與北大校友交流時,張益唐透露,一開始,他並沒有很系統地去研究這個猜想。

但當今年的新晉菲爾茲獎得主詹姆斯·梅納德(James Maynard),2020年在他的基礎之上,把「孿生素數猜想」的結果又改進了一大步,張益唐心想:

我一定要做出一個更好的東西。

每天12小時思考數學問題

上面這則趣聞,出自北京大學大紐約地區校友會主辦的張益唐線上交流座談。

在其中,還有更多關於這位世界級數學家真實的一面。

在此,我們附上QA環節的部分文字整理:

主持人:研究和生活中覺得最困難的時候是如何堅持下來的呢?

張益唐:如果是指2013年之前(張益唐在2013年證明孿生素數猜想),那可能是我這人天性比較淡泊,我對生活要求很低,所以我也沒有太多的困難。

儘管看著別人掙錢多,也不能說沒有一點不平衡,但總的講我還是能坦然處之的。

就是我只要有錢能夠花,儘管弄得我太太不高興(全場大笑),但我還是不覺得太困難,我還是能夠堅持下來。

主持人:您如何維持對一件事情的專注?

張益唐:這是一種習慣,某種程度我都覺得是不是我得了一種強迫症。就說你想停都停不下來了。

比如朗道-西格爾零點問題。就是我剛才說大海撈針,最後我也覺得這個針大概是沒有了,撈不到了,可還是停不下來。

某種程度上,如果說你一旦真的是完全被吸引住的話,不用刻意怎麼樣去維持,自然應該就是能夠維持的。

主持人:平均每天花多長時間思考數學問題?

張益唐:坦率講我一天至少思考12個小時以上。

因為我可以不寫,不看書,我可以在走路,或者幹別的什麼事。但我可以一直想這個問題,所以實際上應該是非常長的。長到連我太太都要罵我

我順便提一下,就是當我的結果快完成的時候,我幾乎是每天晚上做夢都在想這個。而且非常有意思,總覺得這一步還不對,還有問題,弄得挺煩惱,幾乎每天都是這樣。

主持人:您如何看待學術上的競爭與合作,比如讀書時與同門之間的競爭、畢業後與同行之間的競爭。您是如何調整心態?

張益唐:我覺得競爭是正常的。不要說在學術上,就說人有沒有心理不平衡的時候,這多少都會有的。

比如我最近遇到的一次,就是那個英國年輕數學家梅納德(詹姆斯·梅納德),他在孿生素數這個問題下,一下把我給超過去了,而且超過了不少。

你說當時我的心理是什麼樣的?我也不管了,反正我已經出名了。(全場大笑)

沒有。其實朗道-西格爾零點問題,我以前就開始在想了,但沒有那麼系統地想。但就是這樣,我就下決心我一定還要做出一個更好的東西

而在今天我敢說這句話,我已經把它做成了。

主持人:關於數學等基礎科學的應用化,張師兄怎麼看?

張益唐:數學裡頭很多東西都已經被應用,而且正在發現越來越多的應用,特別在物理在工程上什麼的。

即使有一些現在還沒有找到應用的,比如像純粹的解析數論要解決的這些問題,我相信早晚也會發現它是能應用的。但具體這個時間我還不能預測。

另外我們不能說因為這個東西現在暫時沒有應用,或者找不到應用,就輕視它。

基礎數學、基礎科學的這個研究,它不僅將來會具有潛在的應用,它也是衡量一個民族,一個國家,你的文化程度,你的發達程度,這一點是不能忽略的。

論文傳送

最後,奉上張益唐這篇Landau-Siegel零點猜想完整論文。

在量子位公眾號後臺回覆張益唐零點猜想,即可獲取論文PDF。

另外,此番有關朗道-西格爾零點猜想,11月8日,張益唐也會面向北大師生專門做一場學術報告。B站會有同步直播,感興趣的小夥伴可以馬克起來~

圖源:北京國際數學研究中心BICMR

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