只用300小時,17歲高中生解開困擾數學家27年難題,因張益唐「入坑」數論

Pine 魚羊 發自 凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI

只因在電視上多看了一眼數學家張益唐的紀錄片,中學生開始沉迷數論,還獨立發表了一篇「博士級別」數學論文。

解決的數學問題,還是曾難住3位正經數學家整整27年的那種。

當這3位數學家中的卡爾·波梅蘭斯(Carl Pomerance)本人,看到這篇出自17歲少年之手的論文時,也不禁感慨:

這是一篇會讓任何一位數學家都為之自豪的論文。

圖源:Quantamagazine

少年名叫丹尼爾·拉森(Daniel Larsen)。

就在今年,他這篇有關卡麥可數的論文,已經正式發表在《國際數學研究通告》上,還為他贏得了10萬美元(約合72萬元)獎學金。

他本人也告別高中生活,成為了麻省理工學院數學專業的大一新生。

事實上,丹尼爾本人在家鄉早已是小有名氣的「神童」:

一家子都是數學家,他本人13歲就在《紐約時報》上發表過填字遊戲,是這個項目史上最年輕作者。

看上去一路順風順水,但在與外界交流時,他卻說,自己做什麼都「像是在掙扎」。

還自曝:喜歡走捷徑。

因張益唐「入坑」數論,屢挫屢戰

正如開頭所說,丹尼爾和數論的緣分,始於一部有關張益唐的紀錄片。

張益唐是傳奇美籍華裔數學家,因「孿生素數猜想」一舉成名。但在功成名就之前,張益唐的經歷可謂半生潦倒:

博士畢業後因未拿到導師推薦信,學術道路坎坷,甚至不得不靠快餐店收銀員等工作餬口。

但即便如此,張益唐也並未放棄對數論的鑽研,直到58歲終於大器晚成。

張益唐,圖源:北京大學招生網

或許正是這種對數論的執著觸動了丹尼爾。他開始抑制不住地在腦海中不斷思考數論。

一開始,他同樣把目光瞄向了「孿生素數猜想」:張益唐的成果首次證明了存在無窮多對間隔有限的質數,但他證明的間隔是7000萬,這個數字仍可以進一步縮小。

陶哲軒和今年的新晉菲爾茲獎得主詹姆斯·梅納德,就都做過這方面的工作。

雖然只是一名中學生,丹尼爾還是試圖通過閱讀張益唐、陶哲軒和梅納德在這一問題上發表的論文,搞清楚背後的數學原理。

但最終他不得不承認:

這對我來說幾乎是不可能的。他們的論文太複雜了。

儘管如此,丹尼爾並沒有被當場勸退。相反,他一頭扎進了數論論文的海洋,堅持尋找能激發他靈感的那一個「巨人的肩膀」。

終於在2021年2月,17歲的丹尼爾·拉森和卡麥可數邂逅了。

邂逅了
圖源:THE SOCIETY FOR SCIENCE

300小時攻克數論難題

卡麥可數的定義是:

一個正合數n,對於所有跟n互質的整數b,b^n-b都是n的倍數,那麼n就是一個卡麥可數。

根據費馬小定理,所有質數都具備這種特質,因此卡麥可數又被稱為「偽質數」。

在1899年,數學家Alwin Korselt還提出了一種卡麥可數的等效定義,當正合數n滿足以下三個性質時:

  1. 必須包含不止一個質因數;

  2. 質因數均不重複;

  3. 對於每一個能被n整除的質數p,p-1也可以被n-1整除

它就是一個卡麥可數。

舉個例子,最小的卡麥可數是561,561=3×11×17,而2、10和16均能被560整除。

1994年,雷德·阿爾福德(Red Alford)、安德魯·格蘭維爾(Andrew Granville),以及前文提到的卡爾·波梅蘭斯三位數學家,在《數學年刊》上發表論文,證明了卡麥可數有無窮多個。

但當他們試圖證明這無窮多個卡麥可數之間的間隔時,新的困難出現了。

三位數學家認為,這個問題可以轉化為這樣一種證明:給定一個足夠大的數字X,在X和2X之間一定存在一個卡麥可數。

遺憾的是,從1994年到2021年的27年之間,並沒有人完成這個證明。

難度可想而知。因此當丹尼爾的爸爸——印第安納大學路明頓分校數學教授麥可·拉森(Michael Larsen)得知兒子想要攻克這個問題時,他的第一反應是「這可能會變成一段負面經歷」。

但丹尼爾的反應卻是:

你的意思是我仍有10%的機會!

於是,他堅定地投身其中。並且在約300個小時(12.5天)的努力之後,他的論文出爐了。

前面說到,一開始接觸數論,丹尼爾就研究過陶哲軒和梅納德的論文。而在這個有關卡麥可數的證明上,他巧妙地站在了前輩的肩膀上。

他修改了梅納德在證明孿生素數間隔時的用到的方法,將之與阿爾福德、格蘭維爾和波梅蘭斯的方法相結合。如此一來,就能夠確保他最終得到足以產生卡麥可數的素數區間。

實際上,這篇論文不僅證明了卡麥可數一定會出現在X和2X之間,其證明方法還適用於更小的間隔。

另一位致力於偽質數研究的數學家、沃福德學院的Thomas Wright就表示,「這篇論文改變了研究卡麥可數的許多事情」。

值得一提的是,卡麥可數與密碼學和通訊安全息息相關。

最典型的非對稱加密演算法RSA中,生成公鑰的第一步就是選取一對很大的隨機質數。

而當數字比較大時,想要判斷其是否為質數就很麻煩,也很容易與其它數字混淆。這時候,卡麥可數的相關研究就能派上用場了。

出身數學世家

如果說與數論的機緣是從張益唐的紀錄片開始,那麼丹尼爾與數學的緣分在他更小的時候就已經顯現。

這與他的家庭氛圍息息相關。

丹尼爾出身數學世家,父母都是印第安納大學的數學教授,他在濃厚的數學氛圍下長大。

他的父親麥可·拉森是1977的IMO(國際數學奧林匹克競賽)金牌得主,本科畢業於哈佛大學,後於普林斯頓大學取得博士學位。

2013年,麥可·拉森因「對群論、數論、拓撲學和代數幾何的貢獻」而成為美國數學會會員。

圖源:印第安納大學

丹尼爾4歲的時候,父親組織了一個「數學圈」,週六下午為當地孩子開設免費小組,談論一些能讓孩子們對數學產生興趣的古怪話題,丹尼爾也參與其中。

在這樣的培養之下,丹尼爾從小就對解謎感興趣,並且雖然不太喜歡打遊戲,但卻很喜歡鼓搗電腦,去鑽研遊戲背後的工作機制。

12歲時,丹尼爾就寫出了填字遊戲生成軟體,並且13歲就在《紐約時報》發表了自己的作品,到現在還保持著「最年輕作者」的記錄。

右一丹尼爾,圖源:indianapolismonthly

實際上,在丹尼爾研究卡麥可數時,他的父親就是他的第一任導師。

雖然父親並不對兒子搞定這麼難的數學問題抱太大希望,但他還是給予了兒子情感上的支持,並且以對待博士生的態度來指導兒子。

值得一提的是,丹尼爾的姐姐安妮也是「數學神童」,她在高中時就已經開始學習印第安納大學研究生水平的數學課程。現在,安妮正在MIT攻讀數學博士學位。

從小在數學的薰陶下長大,丹尼爾自己也逐漸形成了對數學的一套理解。

他認為現如今網際網路時代削弱了人們的社區意識以及共同目標,人們與外界的聯繫越來越少,這形成一個「元問題」,阻礙了其他問題的解決。

而丹尼爾將這視作數學的另外一面,稱數學可以建立共識,它充滿了和諧與統一。他還說:「上帝是個數學家。」

偶爾躺平的「小數學家」

數學之外,丹尼爾可謂興趣廣泛,小提琴、鋼琴、魔方、國際象棋等均有涉獵。

圖源:Quantamagazine

他小時候就能夠45秒內解出一個魔方,並且還設計了一個樂高機器人,可以把銅便士和鋅便士分開。

不過「少年天才」的光環之外,丹尼爾也像其他年輕人一樣,喜歡偶爾躺平,喜歡走「捷徑」。

就比如說,丹尼爾不太喜歡夏天,一到夏天,他的心情就開始低落,即使在研究卡麥可數也會這樣,那時他暫時「撂下挑子」,去看了夏季奧運會。

甚至還自述有過這種情況:

感覺冷但是就是懶得拿外套。

想看黑板上的字,但離得有點遠就沒過去看。

並且當被問到「不擅長什麼時」,丹尼爾表示自己「做什麼都像是在掙扎」。

我經常選擇阻力最小的道路。如果我對某種情況感到不快,我可能並不會積極地去處理它。

目前,丹尼爾已經步入了麻省理工的校園,他同樣面臨著和大多數人一樣的迷茫,不確定下一步要解決什麼:

我只是在上課…… 並試圖保持開放的心態。

相關文章

臉部辨識遭到美國波士頓政府禁用

臉部辨識遭到美國波士頓政府禁用

郭一璞 發自 凹非寺量子位 報道 | 公眾號 QbitAI 舊金山之後,美國又有一座大城市禁用臉部辨識了。這次,是哈佛、MIT等知名高校的所...

黃仁勳從烤箱裡取出新鮮出爐的GPU

黃仁勳從烤箱裡取出新鮮出爐的GPU

深黑的皮衣,蒼白的頭髮,熟悉的Jensen Huang又來了,但是少了寬敞的會場和粉絲的尖叫。 因為美國疫情的原因,英偉達和其他科技公司一樣...