摺紙中的「降維」:這對父子解出了困擾學界十多年的幾何難題

這一結果可能會幫助研究人員回答一個更重要的問題,即如何將物體從第四維展平到第三維。

電腦科學家 Erik Demaine 和他的藝術家兼電腦科學家父親 Martin Demaine 多年來一直在挑戰摺紙的極限。他們複雜的摺紙雕塑被紐約現代藝術博物館永久收藏。十年前,PBS 還播出了一部以他們為主角的藝術紀錄片。

這對搭檔在 Erik 6 歲時開始合作,如今,Erik 已經成為了麻省理工學院的教授。他說,「我們有一家名為 Erik and Dad Puzzle Company 的公司,這家公司製作並向加拿大的玩具店銷售拼圖。」

Erik 從他父親那裡學到了基礎數學和視覺藝術,但 Martin 也從兒子那裡學到了高等數學和電腦科學。「現在我們都是藝術家和數學家 / 電腦科學家了,」 Erik 說,「我們合作了很多項目,尤其是那些跨越很多學科的項目。」

他們的最新成果是一項數學證明,去年 10 月份發表在《Computational Geometry》雜誌上。

論文連結:https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0925772121000298

在這篇題為《使用可數無限摺痕對所有多面體流形進行連續展平》的論文中,Erik 等人表示,他們證明了,如果擴展標準摺疊模型以允許可數無限摺痕出現,則可以將 3D 中的任何有限多面體流形連續平展為 2D,同時保留固有距離並避免交叉。

這一結果回答了 Demaine 父子和 Erik 博導 Anna Lubiw 2001 年提出的一個問題。他們想知道是否有可能取任何有限多面體(或 flat-sided)形狀(比如立方體,而不是球體或無限大的平面),然後用摺痕將其折平。

當然,你不能將形狀剪開或撕裂。此外,形狀的固有距離還要保持不變,「也就是說,『你不能拉伸或收縮這個材料』,」Erik 說。而且他指出,這種類型的摺疊還必須避免交叉,這意味著「我們不希望紙張穿過自己」,因為這在現實世界中不會發生。「當所有東西都在 3D 中連續移動時,滿足這些限制將非常具有挑戰性」。綜上所述,這些約束意味著簡單地擠壓形狀是行不通的。

Erik 父子等人的研究表明,你可以完成這種摺疊,但前提是使用無限摺疊策略。不過在此之前,幾位作者在 2015 年發表的一篇論文中也提出了另一項實用技術。

論文連結:https://erikdemaine.org/papers/FlatteningOrthogonal_JCDCGG2015full/paper.pdf

在這篇論文中,他們研究了一類更簡單的形狀的摺疊問題:正交多面體,其面以直角相交,並且垂直於 x、y 和 z 座標軸中的至少一個。滿足這些條件會強制形狀的面為矩形,這使得摺疊更簡單,就像摺疊冰箱盒一樣。

「這種情況比較容易算出,因為每個角看起來都一樣。這只不過是兩個面垂直相交而已。」Erik 說到。

2015 年取得成功後,研究人員開始使用這種展平技術來處理所有有限多面體。然而,非正交多面體的面可能是三角形或梯形,適用於冰箱盒子的摺痕策略不適用於稜錐體。並且對於非正交多面體來說,任何有限數量的摺痕總是產生一些在同一個頂點相交的摺痕。

因此 Erik 等人考慮使用其他方法來規避這個問題。經過一番探索,他們找到了一種解決非凸面物體展平問題的方法——立方體晶格(cube lattice),它是一種三維的無限網格。在立方體晶格的每個頂點處,有許多面相交併共享一條邊,這使得在任何一個頂點處實現展平都是非常困難的。

但研究人員最終還是找到了解決方案。首先,他們找到一個「遠離頂點」且可以展平的點,然後再找到另一個可以展平的點,不斷重複這個過程,靠近有問題的頂點,並在移動時將更多的位置展平。

這個過程需要一直持續下去,一旦間斷,就會有更多問題需要解決。本文作者之一、新加坡國立大學的 Jason Ku 表示:「在有問題的頂點附近,利用讓切片越來越小的方法將能夠展平每個切片。」

「在這種情況下,切片並不是實際的切割,而是用於想象將形狀分解成更小塊並將其展平的概念性切片。然後我們在概念上將這些小切片『粘合』在一起,以獲得原始表面。」Erik Demaine 說道。

研究人員將同樣的方法應用於所有非正交多面體。通過從有限的「概念」切片遷移到無限的「概念」切片,他們根據數學上極限的思想創建了一個程序,得到了展開的平面,解決了最初的問題。

美國史密斯學院的電腦科學家和數學家 Joseph O’Rourke 稱讚道:「我從來沒有想過要用無限的摺痕,他們以非常聰明的方式改變了構成解決方案的標準。」

Erik Demaine 嘗試將這種無限摺疊的方法應用於更抽象的形狀。O’Rourke 最近建議使用該方法將四維對象扁平化成三維。同時,Erik Demaine 表示他們仍然想探索是否可以用有限的摺痕來展平多面體,並樂觀地相信這是可能的。

在計算機上玩摺紙的神童

說 Erik Demiane 是神童一點也不為過。他 12 歲到加拿大讀書,14 歲拿到學士學位提前畢業。20 歲在 MIT 任教,21 歲就成為教授,23 歲在滑鐵盧大學發表博士論文,並獲得加拿大「總督金牌」和 NSERC 博士獎學金,同年拿到麥克阿瑟獎。

而 12 歲之前,Erik 是在家裡由自己的父親 Martin Demaine 教學文化知識。儘管 Martin 只有高中學歷,但他卻是知名的藝術家和數學家。

Erik 的主要研究方向就是摺紙演算法和計算理論,現在和他的父親 Martin 一起在 MIT 任教。他們在計算機中進行大量的演算法模擬,仿真摺紙的過程,並基於此設計真實世界中的摺紙藝術品。同時,通過創作摺紙藝術品,Erik Demiane 能夠反推改進演算法,改進的演算法又進一步激發摺紙藝術創作,從而形成一個現實 – 虛擬,演算法 – 藝術的循環。

參考連結:https://www.quantamagazine.org/father-son-team-solves-geometry-problem-with-infinite-folds-20220404/

https://www.x-mol.com/paper/1386871662666866688/t

http://www.archcollege.com/mobile.php?m=index&a=appDetails&id=28655

選自Quantamagazine

作者:Rachel Crowell

機器之心編譯
機器之心編輯部

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