明敏 發自 凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI
只花4分鐘，就破解了量子加密演算法的金鑰。
用的還是一臺有10年「高齡」的桌上型電腦。
完全破解也只需62分鐘，CPU單核即可搞定。
兩位魯汶大學學者基於數學理論破解量子加密演算法的訊息，最近轟動了密碼學界。
要知道，他們破解的演算法SIKE一直以來都被寄予厚望，過去12年都無人破解。
在前不久美國公佈的後量子標準演算法中，它是4個候選者之一，後續很可能被加入標準演算法中。
而他們使用的方法原理，其實在25年前就提出了。
這引發了微軟、亞馬遜等多家科技巨頭對SIKE的重新調查。
同時也讓不少密碼學大佬開始感慨，理解密碼系統，還是要關注數學基礎理論啊！
一朝破解12年未被攻破的演算法
如上提到的SIKE演算法，是一種PQC（後量子計算）演算法。
隨著量子計算的出現，很多超大計算量問題迎刃而解，但經典加密演算法也受到了威脅。
比如著名的RSA演算法，其2048位長的加密資訊，超算需要80年才能破解，而量子計算暴力破解只要8個小時。
因此，學界提出後量子密碼的概念，來抵抗量子計算機的破解。
最近，美國國家標準技術研究所（NIST）剛剛公佈了首批後量子密碼標準演算法，共有4個。
SIKE等另外4個演算法，被認定為是候補選手，將進入下一輪的篩選。
SIKE的全稱為Supersingular Isogeny Key Encapsulation。
這是一種利用橢圓曲線作為定理的加密演算法，看上去可以由一個y²=x³+Ax+B來表述，其中A和B是數字。
該方法的關鍵之處是使用了同源（Isogenies），也就是把一條橢圓曲線的點對映到另一條橢圓曲線上。
然後，基於Supersingular Isogeny Diffie-Hellman (SIDH) 金鑰交換協議，實現後量子金鑰封裝。
該方法可以抽象為這樣一個過程：
假設有Alice和Bob兩方想要秘密交換資訊，但是處於一個不安全的環境下。
Alice和Bob可以被理解為是兩個圖（graph），它們有著相同的點，但是邊不同。
其中，每個點代表一條不同的橢圓曲線，如果一條橢圓曲線能以特定方式轉化為另一條橢圓曲線，即在兩點之間畫一條邊，這條邊表示同源關係。
Alice和Bob的邊不同，意味著他們分別由不同的同源關係定義。
現在，Alice和Bob從同一個點出發，每個人沿著自己圖上的邊隨機跳躍，並且跟蹤從一個點到另一個點的路徑。
然後，兩個人公佈自己到達的中間點，但是路徑保密。
再然後，二人交換位置，重複自己之前的秘密路徑，這樣一來，二人最後會到達同一個點。
這個終點由於可以被秘密確定，所以可將它作為共享金鑰。
這種加密方式最大的好處在於，即便是攻擊者知道了Alice和Bob發送給彼此的中間點，也無法得知中間的過程。
更沒法找到最終的終點。
SIDH/SIKE 也被認為是最早被使用的、基於同源的加密協議之一。
但這種方法有個問題，就是它必須對外提供一個輔助扭轉點（auxiliary torsion points），也就是除了Alice和Bob公開交換位點外的一些資訊。
很多破解方法都在嘗試利用這個資訊，這次也是如此。
來自比利時魯汶大學的學者們，在8月5日的一篇論文中詳細解釋了破解方法。
作者Thomas Decru表示，雖然橢圓曲線是一維的，但是在數學中，它可以被視覺化表示為二維或者任何維度，所以可以在這些廣義對象之間創建對映關係。
Decru和Castryck計算了Alice的起點橢圓曲線與公開發給Bob的橢圓曲線的乘積，這樣會得到一個阿貝爾曲面。
然後通過一種可以將阿貝爾曲面和橢圓曲線聯繫起來的數學定理，以及輔助扭轉點的資訊，他們就能找到Alice和Bob的共享金鑰。
破解中用到的關鍵定理，來自數學家恩斯特·卡尼 (Ernst Kani ) 在1997年發表的一篇論文。
在實際操作中，研究人員通過一臺已經用了10年的桌上型電腦，只需4分鐘就能找到SIKE金鑰。
完全攻破SIKE演算法也只用了62分鐘，而且全程只用了單核。
對此，加密演算法專家Christopher Peikert表示，一般當一種加密演算法被提出後，往往會立刻出現很多破解方法，但是SIKE在提出的12年來，始終沒有被破解過，直到這次「一擊即中」。
而SIKE沒有被選為PQC標準，也是因為學界擔心它還沒有被充分研究，有遭受重大攻擊的可能。
這一次，SIKE被破解的關鍵，被歸功到了對數學理論的應用。
奧克蘭大學的數學家Steven Galbraith認為，此次破解中使用的核心理論來自數學。這也在一定程度上驗證了，對於研究密碼學，數學基礎理論的積累非常重要。
SIKE的提出者之一，加拿大滑鐵盧大學教授David Jao肯定了這次工作：
雖然一開始我為SIKE被破解感到難過，但這種利用數學的破解方法實在太妙了。
同時，他也為SIKE在被大範圍部署前被破解感到慶幸。
不過，雖然SIKE被破解了，但是其他使用同源方法加密的方法（CSIDH\SQsign）還沒有被破解。
值得一提的是，這不是今年第一個被破解的PQC演算法。
今年2月，多變數演算法Rainbow也被破解了。
蘇黎世IBM研究院的學者Ward Beullens，用自己的膝上型電腦計算了一個週末（53個小時），破解了Rainbow的金鑰。
這一演算法同樣是NIST PQC標準演算法的候選者之一。
參考連結：
[1]https://spectrum.ieee.org/quantum-safe-encryption-hacked
[2]https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1997.485.93/html
[3]https://eprint.iacr.org/2022/214
[4]https://www.quantamagazine.org/post-quantum-cryptography-scheme-is-cracked-on-a-laptop-20220824/
